Seja A uma matriz quadrada n \times n tal que A^{n}=I para algum n>0. Mostre que A é inversível. Qual é sua inversa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma matriz quadrada A de ordem n\times n.
  • Existe um inteiro n>0 tal que A^{n}=I, onde I é a matriz identidade n\times n.
O que pede o problema:
  • Mostrar que A é inversível.
  • Determinar qual é a sua inversa.

Passo 2

Lembrete do que significa “inversível” para matrizes (aula rápida):
  • Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz B da mesma ordem que satisfaça
AB = BA = I.
Essa matriz B é então chamada de inversa de A e denotada por A^{-1}.
Também precisamos do significado de potência de matriz: para k\ge1, A^{k} é o produto de k cópias de A. Por convenção, A^{0}=I.

Passo 3

Vamos considerar a matriz A^{\,n-1} como candidata a ser a inversa de A. Agora verifiquemos os produtos A^{\,n-1}A e AA^{\,n-1}.
Usando a definição de potência e a associatividade da multiplicação de matrizes, o produto de n-1 cópias de A por mais uma cópia é a multiplicação de n cópias de A. Assim:
A^{\,n-1}A = A^{n}.
Pelo enunciado sabemos que A^{n}=I. Logo
A^{\,n-1}A = I.

Passo 4

Agora verificamos o outro lado do produto:
pela mesma razão (associatividade e definição de potência),
AA^{\,n-1}=A^{n}=I.
Portanto A^{\,n-1} é simultaneamente uma inversa à esquerda e uma inversa à direita de A.

Passo 5

Se uma matriz quadrada tem uma matriz que é inversa à esquerda e à direita, então essa matriz é a inversa única de A e, em particular, A é inversível. Concluímos que A^{\,n-1} é a inversa de A.
(Observação prática: no caso especial n=1 temos A^{1}=I, então A=I e de fato A^{-1}=I=A^{0}.)

Resposta

A é inversível.
A^{-1} = A^{\,n-1}

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