Seja
uma matriz quadrada
tal que
para algum
. Mostre que
é inversível. Qual é sua inversa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma matriz quadrada
de ordem . - Existe um inteiro
tal que , onde é a matriz identidade .
O que pede o problema:
- Mostrar que
é inversível. - Determinar qual é a sua inversa.
Passo 2
Lembrete do que significa “inversível” para matrizes (aula rápida):
- Uma matriz quadrada
é inversível se existir uma matriz da mesma ordem que satisfaça
Essa matriz
é então chamada de inversa de
e denotada por
.
Também precisamos do significado de potência de matriz: para ,
é o produto de
cópias de
. Por convenção,
.
Também precisamos do significado de potência de matriz: para
Passo 3
Vamos considerar a matriz
como candidata a ser a inversa de
. Agora verifiquemos os produtos
e
.
Usando a definição de potência e a associatividade da multiplicação de matrizes, o produto de
cópias de
por mais uma cópia é a multiplicação de
cópias de
. Assim:
Pelo enunciado sabemos que
. Logo
Passo 4
Agora verificamos o outro lado do produto:
pela mesma razão (associatividade e definição de potência),
pela mesma razão (associatividade e definição de potência),
Portanto
é simultaneamente uma inversa à esquerda e uma inversa à direita de
.
Passo 5
Se uma matriz quadrada tem uma matriz que é inversa à esquerda e à direita, então essa matriz é a inversa única de
e, em particular,
é inversível. Concluímos que
é a inversa de
.
(Observação prática: no caso especial
temos
, então
e de fato
.)