Mostre que operatorname m d c (a, b c)=1 se, somente se, operatorname m d c (a, b)=operatorname m d c (a, c)=1;

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar a equivalência
gcd(a,bc)=1 Long<=ftrightarrow gcd(a,b)=1egcd(a,c)=1
Isso é teoria de divisibilidade e máximo divisor comum (gcd), junto com o Lema de Bézout (que diz que, para qualquer par de inteiros, o gcd aparece como combinação linear desses inteiros). Vamos usar:
  • Propriedades básicas de divisibilidade (se d divide x, então d divide x·y).
  • Lema de Bézout: gcd(a,b)=1 se, e somente se, existem inteiros x,y tais que ax+by=1.

Passo 2

(“⇒”) Suponha gcd(a,bc)=1. Queremos mostrar gcd(a,b)=1 (e o caso de c é idêntico).
  1. Seja d=gcd(a,b).
  2. Por definição, dmid a e dmid b.
  3. Como dmid b, existe um inteiro k tal que b=d,k. Então
bc = (d,k),c = d,(k,c),
logo dmid bc.
4. Assim d divide ao mesmo tempo a e bc, o que implica dmid gcd(a,bc). Mas gcd(a,bc)=1, então forçosamente d=1.
Conclusão: gcd(a,b)=d=1. Igual para gcd(a,c).

Passo 3

(“⇐”) Agora suponha gcd(a,b)=1 e gcd(a,c)=1. Vamos mostrar gcd(a,bc)=1 usando Bézout.
  1. Como gcd(a,b)=1, existem inteiros x,y tais que
a x + b y = 1
  1. Como gcd(a,c)=1, existem inteiros u,v tais que
a u + c v = 1
  1. Multiplicando as duas igualdades:
(a x + b y),(a u + c v) ;=; 1cdot1 ;=; 1
  1. Expandindo à esquerda:
a^2 x u ;+; a c,x v ;+; a b,y u ;+; b c,y v ;=;1
  1. Agrupando termos para ver combinação linear de a e b c:
al(a x u + c x v + b y ur) ;+; b c,(y v) ;=;1
Ou seja, existem inteiros alpha = a x u + c x v + b y u e beta = y v tais que
a,alpha ;+;(b c),beta ;=;1
  1. Isso mostra que 1 é combinação linear de a e b c. Qualquer divisor comum de a e b c teria de dividir 1, logo só pode ser pm1. Assim gcd(a,bc)=1.

Resposta

Portanto, ficou provado que
gcd(a,bc)=1 Long<=ftrightarrow gcd(a,b)=1 e gcd(a,c)=1

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