Sejam
inteiros positivos. Mostre que se
é um inteiro, então
, e neste caso
ou
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Sejam
inteiros positivos. Mostre que se
é um número inteiro, então
, e nesse caso só dá
ou
.”
Isso é um problema de teoria dos números, mais especificamente de divisibilidade e manipulação de frações. Para resolver, vamos usar:
Isso é um problema de teoria dos números, mais especificamente de divisibilidade e manipulação de frações. Para resolver, vamos usar:
- multiplicar a igualdade por
; - propriedades de divisibilidade em inteiros;
- análise de divisores de 2.
Passo 2
Começo definindo
onde
é inteiro (positivo, já que ambos os termos são positivos). Multiplico os dois lados por
para ficar só com números inteiros:
Passo 3
Agora uso divisibilidade. Da igualdade
percebo que o lado direito
é múltiplo de
, logo o lado esquerdo
também é múltiplo de
.
Como e
, então
, ou seja,
Como
Analogamente, como
e
, a gente conclui que
Quando dois inteiros se dividem mutuamente, só pode ser se forem iguais. Logo
Passo 4
Substituo
na soma original. A gente tinha
virou
Como
é inteiro,
tem de dividir 2. Os divisores positivos de 2 são só 1 e 2. Portanto
E como
, segue que
também vale 1 ou 2.
Resposta
Concluímos que necessariamente
, e as únicas possibilidades são
ou
.