Sejam m, n inteiros positivos. Mostre que se 1n+1m é um inteiro, então m=n, e neste caso n=m=1 ou n=m=2.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Sejam m,n inteiros positivos. Mostre que se
1n + 1m
é um número inteiro, então m=n, e nesse caso só dá n=m=1 ou n=m=2.”
Isso é um problema de teoria dos números, mais especificamente de divisibilidade e manipulação de frações. Para resolver, vamos usar:
  1. multiplicar a igualdade por mn;
  2. propriedades de divisibilidade em inteiros;
  3. análise de divisores de 2.

Passo 2

Começo definindo
1n + 1m = k,
onde k é inteiro (positivo, já que ambos os termos são positivos). Multiplico os dois lados por mn para ficar só com números inteiros:
mnl(tfrac1n + tfrac1mr) ;=; mn,k Longrightarrow m + n = k,m,n

Passo 3

Agora uso divisibilidade. Da igualdade
m + n = k,m,n
percebo que o lado direito k,m,n é múltiplo de m, logo o lado esquerdo m + n também é múltiplo de m.
Como m mid (m+n) e m mid m, então mmidl((m+n)-mr), ou seja,
m mid n
Analogamente, como n mid (m+n) e nmid n, a gente conclui que
n mid m
Quando dois inteiros se dividem mutuamente, só pode ser se forem iguais. Logo
m = n

Passo 4

Substituo m=n na soma original. A gente tinha
1n + 1m = k,
virou
1n + 1n = k Longrightarrow 2n = k
Como k é inteiro, n tem de dividir 2. Os divisores positivos de 2 são só 1 e 2. Portanto
n = 1ou n = 2
E como m=n, segue que m também vale 1 ou 2.

Resposta

Concluímos que necessariamente m = n, e as únicas possibilidades são (m,n) = (1,1) ou (m,n) = (2,2),.

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