Usando o fato de que |e^(i theta) - 1| é a distância entre os pontos e^(i * theta) e 1 , dê um argumento geométrico para encontrar um valor de theta no intervalo 0 <= theta < 2 pi tal que |e^(i * theta) - 1| = 2.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte questão: precisamos encontrar um valor de entre e tal que a distância entre os pontos e no plano complexo seja igual a . Vamos usar conceitos de geometria no círculo unitário e propriedades de números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa . No plano complexo, está localizado no círculo unitário, que tem raio e está centrado na origem. O número também está no círculo unitário, especificamente no ponto .

Passo 3

A distância entre dois pontos no plano complexo, digamos e , é dada por . No nosso caso, queremos calcular .

Passo 4

Vamos simplificar :
Então, temos:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que .

Passo 6

As soluções para dentro do intervalo são:
éú
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 7

Dentro do intervalo , a única solução válida é .

Resposta

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