Para resolver equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^3-6r^2+11r-6=0.
Vamos fatorar esse polinômio: testando r=1 vemos que
1-6+11-6=0,
logo r=1 é raiz e o polinômio tem fator (r-1). Fazendo a divisão ou fatoração completa obtemos
r^3-6r^2+11r-6=(r-1)(r^2-5r+6)=(r-1)(r-2)(r-3).
Portanto as raízes são r=1,2,3, distintas.
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{2t}+C_3 e^{3t},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Explicação rápida: cada raiz r gera uma solução e^{rt}; como a equação é linear e de 3ª ordem, a combinação linear das três soluções independentes é a solução geral.)
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular y_p(t) da equação completa. O lado direito é e^{4t}. Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando a forçante é e^{\alpha t} e \alpha não é raiz do polinômio característico, tentamos
y_p(t)=A e^{4t},
com A constante a determinar. Substituímos na equação diferencial; como o operador linear L[y]=y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}+11y^\prime-6y atua sobre e^{4t} multiplicando por r^3-6r^2+11r-6 avaliado em r=4, temos
Podemos verificar rapidamente (se quiser) que esta função satisfaz a equação diferencial e as condições y(0)=y^\prime(0)=y^{\prime\prime}(0)=0 (já usadas para obter as constantes).