Resolva o problema de valor inicial:
\begin{gathered} y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=e^{4 t} ; \quad y(0)=y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=0 . \\\ \text { Resposta: } y(t)=1+e^{-t}+e^{-\frac{1}{2}}\left[\cos \frac{\sqrt{3} t}{2}-\frac{7}{\sqrt{3}} \sin \frac{\sqrt{3} t}{2}\right] . \end{gathered}

Passo 1

Temos o problema de valor inicial com a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Informações do enunciado que vamos usar:
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}+11y^\prime-6y=e^{4t},
com
y(0)=0,\qquad y^\prime(0)=0,\qquad y^{\prime\prime}(0)=0.
O que o enunciado pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as três condições iniciais.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada (isto é, tomando o lado direito igual a zero). Escrevemos a equação homogênea:
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}+11y^\prime-6y=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^3-6r^2+11r-6=0.
Vamos fatorar esse polinômio: testando r=1 vemos que
1-6+11-6=0,
logo r=1 é raiz e o polinômio tem fator (r-1). Fazendo a divisão ou fatoração completa obtemos
r^3-6r^2+11r-6=(r-1)(r^2-5r+6)=(r-1)(r-2)(r-3).
Portanto as raízes são r=1,2,3, distintas.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{2t}+C_3 e^{3t},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Explicação rápida: cada raiz r gera uma solução e^{rt}; como a equação é linear e de 3ª ordem, a combinação linear das três soluções independentes é a solução geral.)

Passo 4

Agora procuramos uma solução particular y_p(t) da equação completa. O lado direito é e^{4t}. Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando a forçante é e^{\alpha t} e \alpha não é raiz do polinômio característico, tentamos
y_p(t)=A e^{4t},
com A constante a determinar. Substituímos na equação diferencial; como o operador linear L[y]=y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}+11y^\prime-6y atua sobre e^{4t} multiplicando por r^3-6r^2+11r-6 avaliado em r=4, temos
L[A e^{4t}]=A\bigl(4^3-6\cdot4^2+11\cdot4-6\bigr)e^{4t}.
Calculamos o valor do polinômio em 4:
4^3-6\cdot4^2+11\cdot4-6=64-96+44-6=6.
Logo
L[A e^{4t}]=6A e^{4t}.
Queremos L[y_p]=e^{4t}, isto é 6A e^{4t}=e^{4t}, portanto
6A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{6}.
Assim a solução particular é
y_p(t)=\frac{1}{6}e^{4t}.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{2t}+C_3 e^{3t}+\frac{1}{6}e^{4t}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar [C_1,C_2,C_3). Primeiro escrevemos y(0), y^\prime(0) e y^{\prime\prime}(0).
Calculamos y(0):
y(0)=C_1 + C_2 + C_3 + \frac{1}{6}.
Como y(0)=0, obtemos a equação
C_1 + C_2 + C_3 = -\frac{1}{6}. \tag{1}
Calculamos y^\prime(t) derivando termo a termo:
y^\prime(t)=C_1 e^{t}+2C_2 e^{2t}+3C_3 e^{3t}+\frac{4}{6}e^{4t}.
Logo em t=0:
y^\prime(0)=C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \frac{4}{6}.
Como y^\prime(0)=0, obtemos
C_1 + 2C_2 + 3C_3 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}. \tag{2}
Calculamos y^{\prime\prime}(t) (derivando y^\prime):
y^{\prime\prime}(t)=C_1 e^{t}+4C_2 e^{2t}+9C_3 e^{3t}+\frac{16}{6}e^{4t}.
Em t=0:
y^{\prime\prime}(0)=C_1 + 4C_2 + 9C_3 + \frac{16}{6}.
Como y^{\prime\prime}(0)=0, obtemos
C_1 + 4C_2 + 9C_3 = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}. \tag{3}
Agora resolvemos o sistema linear formado por (1), (2) e (3):
\begin{cases} C_1 + C_2 + C_3 = -\dfrac{1}{6},\\[6pt] C_1 + 2C_2 + 3C_3 = -\dfrac{2}{3},\\[6pt] C_1 + 4C_2 + 9C_3 = -\dfrac{8}{3}. \end{cases}
Subtraindo a equação (1) de (2) obtemos:
(C_1+2C_2+3C_3)-(C_1+C_2+C_3)=C_2+2C_3=-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{2}.
Logo
C_2+2C_3=-\frac{1}{2}. \tag{4}
Subtraindo (2) de (3) obtemos:
(C_1+4C_2+9C_3)-(C_1+2C_2+3C_3)=2C_2+6C_3=-\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=-2.
Dividindo por (2]:
C_2+3C_3=-1. \tag{5}
Subtraindo (4) de (5) obtemos:
(C_2+3C_3)-(C_2+2C_3)=C_3=-1 -\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}.
Portanto
C_3=-\frac{1}{2}.
Voltando em (4):
C_2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)=C_2-1=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{1}{2}.
Finalmente usando (1):
C_1 + \frac{1}{2} -\frac{1}{2} = C_1 = -\frac{1}{6}.
Portanto
C_1=-\frac{1}{6},\qquad C_2=\frac{1}{2},\qquad C_3=-\frac{1}{2}.]

Passo 6

Substituímos as constantes na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(t)=-\frac{1}{6}e^{t}+\frac{1}{2}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{3t}+\frac{1}{6}e^{4t}.
Podemos verificar rapidamente (se quiser) que esta função satisfaz a equação diferencial e as condições y(0)=y^\prime(0)=y^{\prime\prime}(0)=0 (já usadas para obter as constantes).

Resposta

y(t)=-\frac{1}{6}e^{t}+\frac{1}{2}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{3t}+\frac{1}{6}e^{4t}.

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