Obtenha a equaçãoda reta tangente ao gráfico de
pontos de abscissas indicadas:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
Pergunta: obter a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é
.\n
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- A função
está dada explicitamente. - A abscissa do ponto de tangência é
. - Para escrever a reta tangente precisamos do ponto no gráfico (ou seja, a ordenada
) e da inclinação (o coeficiente angular), que é dado por .
Passo 2
O que é a derivada e por que ela aparece aqui: a derivada de
num ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Geometricamente, a derivada
é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
em
.
Definição formal (não é preciso decorar para aplicar, mas é bom saber):
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada da soma é a soma das derivadas.
- Derivada de uma constante é
. - Regra do fator constante: a derivada de
é . - Regra potência (power rule): a derivada de
é . Por exemplo, a derivada de é ; a derivada de (que é ) é .
Estas regras são suficientes para derivar polinômios como
.
Passo 3
Aplicando as regras ao polinômio
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (porque a derivada de é , e o fator permanece). - Derivada de
(constante) é .
Portanto
Passo 4
Agora calculamos a inclinação da tangente em
substituindo em
:
Interpretação rápida: a reta tangente desce uma unidade em
para cada aumento de uma unidade em
.
Passo 5
Calculamos a ordenada do ponto de tangência, ou seja
. Substituímos na função:
Logo o ponto de tangência no plano é
.
Passo 6
Fórmula da reta com ponto e coeficiente angular: a equação da reta que passa por
com inclinação
é a forma ponto-inclinação
Aqui
,
,
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da reta:
Fazendo as contas:
Opcionalmente, podemos escrever na forma padrão:
Passo 8
Resumo prático para a prova (receita de bolso): para qualquer polinômio, deriva-se termo a termo para achar
, avalia em
para obter a inclinação, calcula
para obter o ponto, e usa
. Vai dar certo e é rápido se você praticar uma ou duas vezes antes da prova. Você consegue — respira e parte pro próximo exercício!