Obtenha a equaçãoda reta tangente ao gráfico de f pontos de abscissas indicadas:
f(x)=x^{2}-5 x+6, \quad x_{0}=2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
f(x)=x^{2}-5x+6
x_{0}=2
Pergunta: obter a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto cuja abscissa é x_{0}=2.\n
Informações relevantes listadas:
  • A função f está dada explicitamente.
  • A abscissa do ponto de tangência é x_{0}=2.
  • Para escrever a reta tangente precisamos do ponto no gráfico (ou seja, a ordenada y_{0}=f(x_{0})) e da inclinação (o coeficiente angular), que é dado por f'(x_{0}).

Passo 2

O que é a derivada e por que ela aparece aqui: a derivada de f num ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Geometricamente, a derivada f'(x_{0}) é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f em x_{0}.
Definição formal (não é preciso decorar para aplicar, mas é bom saber):
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de uma constante é 0.
  • Regra do fator constante: a derivada de a\cdot g(x) é a\cdot g'(x).
  • Regra potência (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Por exemplo, a derivada de x^{2} é 2x; a derivada de x (que é x^{1}) é 1.
Estas regras são suficientes para derivar polinômios como f(x).

Passo 3

Aplicando as regras ao polinômio f(x)=x^{2}-5x+6:
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de -5x é -5 (porque a derivada de x é 1, e o fator -5 permanece).
  • Derivada de 6 (constante) é 0.
Portanto
f'(x)=2x-5.

Passo 4

Agora calculamos a inclinação da tangente em x_{0}=2 substituindo em f'(x):
f'(2)=2\cdot 2 - 5 = 4-5 = -1.
Interpretação rápida: a reta tangente desce uma unidade em y para cada aumento de uma unidade em x.

Passo 5

Calculamos a ordenada do ponto de tangência, ou seja y_{0}=f(2). Substituímos na função:
f(2)=2^{2}-5\cdot 2 + 6 = 4-10+6 = 0.
Logo o ponto de tangência no plano é (2,0).

Passo 6

Fórmula da reta com ponto e coeficiente angular: a equação da reta que passa por (x_{0},y_{0}) com inclinação m é a forma ponto-inclinação
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui m=f'(2)=-1, x_{0}=2, y_{0}=0.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da reta:
y-0 = -1\,(x-2).
Fazendo as contas:
y = -x + 2.
Opcionalmente, podemos escrever na forma padrão:
x + y - 2 = 0.

Passo 8

Resumo prático para a prova (receita de bolso): para qualquer polinômio, deriva-se termo a termo para achar f'(x), avalia em x_{0} para obter a inclinação, calcula f(x_{0}) para obter o ponto, e usa y-y_{0}=m(x-x_{0}). Vai dar certo e é rápido se você praticar uma ou duas vezes antes da prova. Você consegue — respira e parte pro próximo exercício!

Resposta

y=-x+2

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