Determine todas as raízes das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as soluções complexas de
. O conteúdo usado será a definição de função hiperbólica em termos de exponenciais e as propriedades do logaritmo complexo.
Passo 2
Usando a definição em termo de exponenciais, temos
Igualando a
e multiplicando por
obtemos uma equação quadrática em
:
Passo 3
Resolvendo a equação
, o discriminante é
. Logo
Interpretamos que as duas raízes têm módulo 1 e argumentos
.
Passo 4
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo complexo em cada raiz. Como
implica
temos
ou
Passo 5
Reunindo as duas famílias de soluções, a forma mais compacta é
Resposta
z = i\bigl(2\pi k \pm \tfrac{\pi}{3}\bigr), ; k \in \mathbb{Z}.