Determine todas as raízes das seguintes equações:
cosh z=12

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as soluções complexas de cosh z = tfrac12. O conteúdo usado será a definição de função hiperbólica em termos de exponenciais e as propriedades do logaritmo complexo.

Passo 2

Usando a definição em termo de exponenciais, temos
cosh z = e^z + e^-z2
Igualando a tfrac12 e multiplicando por 2e^z obtemos uma equação quadrática em w = e^z:
w^2 - w + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação w^2 - w + 1 = 0, o discriminante é De. Logo
w = 1 pm iraiz32 = e^pm ipi/3
Interpretamos que as duas raízes têm módulo 1 e argumentos pmpi/3.

Passo 4

Para encontrar z, aplicamos o logaritmo complexo em cada raiz. Como e^z = e^itheta implica
z = itheta + 2pi i k, k in Z,
temos
z = il(tfracpi3 + 2pi kr)
ou
z = il(-tfracpi3 + 2pi kr)

Passo 5

Reunindo as duas famílias de soluções, a forma mais compacta é
z = il(2pi k pm tfracpi3r), k in Z

Resposta

z = i\bigl(2\pi k \pm \tfrac{\pi}{3}\bigr), ; k \in \mathbb{Z}.

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