Determine todas as raízes das seguintes equações:
sen z=cosh 4

Passo 1

Neste primeiro passo, vamos resumir o enunciado: queremos determinar todas as raízes da equação sin z = cosh 4. O conteúdo envolvido é o estudo de funções trigonométricas complexas e hiperbólicas, e precisaremos usar a fórmula de sin(x+iy) para separar parte real e imaginária.

Passo 2

Escrevendo z = x + iy com x,yinR, lembramos que
sin(x+iy)=sin x,cosh y + i,cos x,sinh y
Logo, ao impor sin(x+iy)=cosh4 (número real), igualamos partes real e imaginária:
sin x,cosh y = cosh4, cos x,sinh y = 0

Passo 3

Da equação cos x,sinh y = 0, temos duas possibilidades: ou sinh y=0 ou cos x=0. Se sinh y=0 então y=0 e ficaria sin x=cosh4>1, impossível. Logo cos x=0.

Passo 4

Com cos x=0 vem x=pi2+kpi. Substituindo na parte real, sin x=pm1, obtemos
pm1cdotcosh y=cosh4
Como cosh y>0, só vale o sinal +1, isto é k par, então
x=pi2+2pi n, ninZ

Passo 5

Por fim, resolvendo cosh y=cosh4 para yinR y=pm4. Assim obtemos todas as soluções.
Juntando, as raízes são
z=pi2+2pi npm4i, ninZ

Resposta

z=pi2+2pi npm4i, ninZ

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