Calcule os limites abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite
. Isso envolve o conceito de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com funções trigonométricas, polinômios e também aplicar a Regra de L’Hôpital quando a gente encontra uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
na expressão para ver se conseguimos achar o limite diretamente. Substituindo:
Esse resultado é uma forma indeterminada
, o que significa que a gente não consegue descobrir o limite apenas substituindo. Quando encontramos
, uma técnica muito útil é aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
ou
, então:
Ou seja, a gente calcula as derivadas do numerador e do denominador e então tenta achar o limite dessa nova fração.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
-
Numerador:Para derivar
, usamos a regra do produto: Calculando cada parte:Então: -
Denominador:Derivando:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Vamos tentar substituir
novamente:
-
Numerador:
-
Denominador:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite é
.