Calcule os limites abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite lim x 0 (2 x^2+3) sen xx^2+2 x. Isso envolve o conceito de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar saber como trabalhar com funções trigonométricas, polinômios e também aplicar a Regra de L’Hôpital quando a gente encontra uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 0 na expressão para ver se conseguimos achar o limite diretamente. Substituindo:
(2 (0)^2+3) sen 0(0)^2+2 (0) = 3 times 00 = 00
Esse resultado é uma forma indeterminada 00, o que significa que a gente não consegue descobrir o limite apenas substituindo. Quando encontramos 00, uma técnica muito útil é aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se lim x a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então:
lim x a f(x)g(x) = lim x a f'(x)g'(x)
Ou seja, a gente calcula as derivadas do numerador e do denominador e então tenta achar o limite dessa nova fração.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Numerador: f(x) = (2x^2 + 3) sen x
    Para derivar f(x), usamos a regra do produto:
    f'(x) = ddx(2x^2 + 3) cdot sen x + (2x^2 + 3) cdot ddx(sen x)
    Calculando cada parte:
    ddx(2x^2 + 3) = 4x
    ddx(sen x) = cos x
    Então:
    f'(x) = 4x cdot sen x + (2x^2 + 3) cdot cos x
  • Denominador: g(x) = x^2 + 2x
    Derivando:
    g'(x) = 2x + 2

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
lim x 0 f'(x)g'(x) = lim x 0 4x cdot sen x + (2x^2 + 3) cdot cos x2x + 2
Vamos tentar substituir x = 0 novamente:
  • Numerador:
    4(0) cdot sen 0 + (2(0)^2 + 3) cdot cos 0 = 0 + 3 times 1 = 3
  • Denominador:
    2(0) + 2 = 2
Então, o limite fica:
32

Resposta

O limite é 32.

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