Determinar as equações da reta tangente à curva no ponto dado.
4 x^2+3 y^2=7 no ponto (1,1).

Passo 1

A curva dada é a elipse implícita definida por 4x^2+3y^2=7 e o ponto de tangência é (1,1). Para encontrar a reta tangente, vamos precisar da derivada y' = tfracdydx, obtida por diferenciação implícita.

Passo 2

Derivando ambos os lados de 4x^2+3y^2=7 em relação a x, lembrando que ddx(y^2)=2y,y', temos:
8x + 6y,y' = 0

Passo 3

Isolando y', obtemos:
y' = -8x6y = -4x3y

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(1,1), logo o coeficiente angular da tangente é: m = y'(1,1) = -tfrac4cdot13cdot1 = -tfrac43.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com (x0,y0)=(1,1) e m=-tfrac43, escrevemos:
y - 1 = -43(x - 1)

Passo 6

Se preferir em forma explícita de y, basta distribuir e isolar y:
y = -43x + 73

Resposta

A reta tangente é
y - 1 = -43(x - 1)
ou, de forma explícita,
y = -43x + 73

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