e pede para determinar o maior valor possível de M. Aqui assumimos que a intenção é calcular o valor de m (ou seja, encontrar o valor numérico máximo que essa expressão toma, que neste caso é um valor fixo). Informações relevantes fornecidas:
A base 16 e os logaritmos na base 2: \log_{2}30 e \log_{2}25.
Não há parâmetros variáveis além dos números dados, então o valor de m é determinado unicamente por essa expressão.
Passo 2
Antes de começar a transformar a expressão, vamos rever as propriedades de logaritmos e potências que vamos usar (com explicações simples e exemplos):
Definição: \log_{2}x é o número y tal que 2^{y}=x. Ex.: \log_{2}8=3 porque 2^{3}=8.
Potência de potência: (a^{r})^{s}=a^{r s}. Ex.: (2^{3})^{2}=2^{6}=64.
Multiplicação por escalar dentro do logaritmo: k\log_{b}x=\log_{b}(x^{k}). Ex.: 2\log_{2}3=\log_{2}(3^{2})=\log_{2}9.
Diferença de logaritmos: \log_{b}x-\log_{b}y=\log_{b}\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Ex.: \log_{2}8-\log_{2}2=\log_{2}(8/2)=\log_{2}4=2.
Conexão potências/logs: b^{\log_{b}X}=X para X>0. Ex.: 2^{\log_{2}5}=5.
Essas fórmulas vão permitir simplificar a expressão passo a passo.
Passo 3
Reescreve a base 16 como potência de 2, já que os logaritmos são na base 2:
16=2^{4}.
Logo
m=(2^{4})^{\,2\log_{2}30-\log_{2}25}.
Agora aplicamos a regra de potência de potência (a^{r})^{s}=a^{r s}:
m=2^{4\left(2\log_{2}30-\log_{2}25\right)}.
Passo 4
Distribuímos o 4 no expoente:
m=2^{8\log_{2}30-4\log_{2}25}.
Usamos agora a propriedade k\log_{b}x=\log_{b}(x^{k}) para transformar os termos: