(2,0 ponto) Considere o seguinte:
m=16^{2 \log _{2} 30-\log _{2} 25}
Determine o maior valor possível de M :

Passo 1

O enunciado dá a expressão
m=16^{2\log_{2}30-\log_{2}25}
e pede para determinar o maior valor possível de M. Aqui assumimos que a intenção é calcular o valor de m (ou seja, encontrar o valor numérico máximo que essa expressão toma, que neste caso é um valor fixo). Informações relevantes fornecidas:
  • A base 16 e os logaritmos na base 2: \log_{2}30 e \log_{2}25.
  • Não há parâmetros variáveis além dos números dados, então o valor de m é determinado unicamente por essa expressão.

Passo 2

Antes de começar a transformar a expressão, vamos rever as propriedades de logaritmos e potências que vamos usar (com explicações simples e exemplos):
  • Definição: \log_{2}x é o número y tal que 2^{y}=x. Ex.: \log_{2}8=3 porque 2^{3}=8.
  • Potência de potência: (a^{r})^{s}=a^{r s}. Ex.: (2^{3})^{2}=2^{6}=64.
  • Multiplicação por escalar dentro do logaritmo: k\log_{b}x=\log_{b}(x^{k}). Ex.: 2\log_{2}3=\log_{2}(3^{2})=\log_{2}9.
  • Diferença de logaritmos: \log_{b}x-\log_{b}y=\log_{b}\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Ex.: \log_{2}8-\log_{2}2=\log_{2}(8/2)=\log_{2}4=2.
  • Conexão potências/logs: b^{\log_{b}X}=X para X>0. Ex.: 2^{\log_{2}5}=5.
Essas fórmulas vão permitir simplificar a expressão passo a passo.

Passo 3

Reescreve a base 16 como potência de 2, já que os logaritmos são na base 2:
16=2^{4}.
Logo
m=(2^{4})^{\,2\log_{2}30-\log_{2}25}.
Agora aplicamos a regra de potência de potência (a^{r})^{s}=a^{r s}:
m=2^{4\left(2\log_{2}30-\log_{2}25\right)}.

Passo 4

Distribuímos o 4 no expoente:
m=2^{8\log_{2}30-4\log_{2}25}.
Usamos agora a propriedade k\log_{b}x=\log_{b}(x^{k}) para transformar os termos:
8\log_{2}30=\log_{2}\left(30^{8}\right),\qquad 4\log_{2}25=\log_{2}\left(25^{4}\right).
Portanto
m=2^{\log_{2}\left(30^{8}\right)-\log_{2}\left(25^{4}\right)}.

Passo 5

Aplicamos a propriedade da diferença de logaritmos \log_{b}A-\log_{b}B=\log_{b}\!\left(\dfrac{A}{B}\right):
m=2^{\log_{2}\!\left(\dfrac{30^{8}}{25^{4}}\right)}.
Agora usamos 2^{\log_{2}X}=X para eliminar a exponenciação pela base do logaritmo:
m=\dfrac{30^{8}}{25^{4}}.

Passo 6

Simplificamos a fração fatorando 30 e 25. Note que 30=2\cdot3\cdot5 e 25=5^{2}. Então
30^{8}=(2\cdot3\cdot5)^{8}=2^{8}\cdot3^{8}\cdot5^{8},
25^{4}=(5^{2})^{4}=5^{8}.
Substituindo,
m=\dfrac{2^{8}\cdot3^{8}\cdot5^{8}}{5^{8}}=2^{8}\cdot3^{8}=(2\cdot3)^{8}=6^{8}.

Passo 7

Calculamos o valor numérico de 6^{8}. Uma forma prática:
6^{2}=36,\qquad 6^{4}=(6^{2})^{2}=36^{2}=1296,
6^{8}=(6^{4})^{2}=1296^{2}.
Calculando 1296^{2}:
1296^{2}=1296\cdot1296=1296\cdot(1300-4)=1296\cdot1300-1296\cdot4=1\,684\,800-5\,184=1\,679\,616.
Portanto 6^{8}=1\,679\,616.

Resposta

M=6^{8}=1679616

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