Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por
, onde t é o tempo em dias. No instante
, existem 1000 bactérias.
Qual será a população após 3 dias?
Qual será a população após 3 dias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma população de bactérias que cresce a uma taxa dada por
, onde
é o tempo em dias. No começo (
), já temos 1000 bactérias. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias teremos após 3 dias.
Esse exercício envolve Cálculo Diferencial, mais especificamente equações diferenciais, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função
, que representa a população de bactérias em função do tempo. Para isso, vamos integrar a taxa de crescimento
.
A equação é:
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral de
é simplesmente
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para facilitar, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral de
é
, então:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Passo 7
Substituindo
na equação de
:
Passo 8
Agora, queremos saber a população após 3 dias, ou seja, quando
:
Passo 9
Calculando o valor numérico:
Resposta
Após 3 dias, a população de bactérias será aproximadamente 7.727.