Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por dPdt=30001+0,25 t, onde t é o tempo em dias. No instante t=0, existem 1000 bactérias.
Qual será a população após 3 dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma população de bactérias que cresce a uma taxa dada por dPdt = 30001 + 0,25, t, onde t é o tempo em dias. No começo ( t = 0), já temos 1000 bactérias. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias teremos após 3 dias.
Esse exercício envolve Cálculo Diferencial, mais especificamente equações diferenciais, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função P(t), que representa a população de bactérias em função do tempo. Para isso, vamos integrar a taxa de crescimento dPdt.
A equação é:
dPdt = 30001 + 0,25, t

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral dP = integral 30001 + 0,25, t , dt
A integral de dP é simplesmente P(t), então:
P(t) = 3000 integral 11 + 0,25, t , dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para facilitar, fazemos uma substituição:
u = 1 + 0,25, t Rightarrow dudt = 0,25 Rightarrow dt = du0,25 = 4, du
Substituindo na integral:
P(t) = 3000 integral 1u cdot 4, du + C = 12000 integral 1u , du + C

Passo 5

A integral de 1u , du é ln|u|, então:
P(t) = 12000 ln|u| + C = 12000 ln(1 + 0,25, t) + C

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar C. Sabemos que quando t = 0, P(0) = 1000:
1000 = 12000 ln(1 + 0,25 cdot 0) + C 1000 = 12000 ln(1) + C 1000 = 0 + C C = 1000

Passo 7

Substituindo C na equação de P(t):
P(t) = 12000 ln(1 + 0,25, t) + 1000

Passo 8

Agora, queremos saber a população após 3 dias, ou seja, quando t = 3:
P(3) = 12000 ln(1 + 0,25 cdot 3) + 1000 = 12000 ln(1 + 0,75) + 1000 = 12000 ln(1,75) + 1000

Passo 9

Calculando o valor numérico:
ln(1,75) approx 0,5606 12000 times 0,5606 approx 6727,2 6727,2 + 1000 = 7727,2

Resposta

Após 3 dias, a população de bactérias será aproximadamente 7.727.

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