Determine todas as soluções da equação
utilizando a função índice
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a congruência
usando a função índice
. Aqui estamos no grupo multiplicativo
, que tem ordem
. Vamos precisar de:
– escolher uma raiz primitiva de
,
– usar que ,
– e resolver a congruência linear resultante para .
– escolher uma raiz primitiva
– usar que ,
– e resolver a congruência linear resultante para .
Passo 2
Escolhemos
, que é raiz primitiva em
. Definimos
se e somente se
com
tomado modulo
.
Passo 3
Aplicamos índice à congruência
. Se
e
(pois
), então
Como
, obtemos
Passo 4
Resolvendo
: note que
e
, logo dividimos tudo por
:
Como
, o inverso de
módulo
é
. Multiplicando por
:
Portanto
gerando três soluções distintas de
módulo
:
.
Passo 5
Voltamos a
. Para cada
:
– :
.
– :
.
– :
.
–
–
–
Resposta
As soluções da congruência
são