Determine todas as soluções da equação x^{33} \equiv 7(\bmod 19) utilizando a função índice \operatorname{ind}_{g}(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência
x^{33} \equiv 7 \pmod{19}
usando a função índice \ind_{g}(x). Aqui estamos no grupo multiplicativo \Z_{19}^*, que tem ordem \varphi(19)=18. Vamos precisar de:
– escolher uma raiz primitiva g de \Z_{19}^*,
– usar que \ind_{g}(x^k)=k\;\ind_{g}(x)\pmod{18},
– e resolver a congruência linear resultante para \ind_{g}(x).

Passo 2

Escolhemos g=2, que é raiz primitiva em \Z_{19}^*. Definimos \ind_{2}(x)=y se e somente se
x \equiv 2^y \pmod{19},
com y tomado modulo 18.

Passo 3

Aplicamos índice à congruência x^{33}\equiv7\pmod{19}. Se \ind_{2}(x)=y e \ind_{2}(7)=6 (pois 2^6=64\equiv7\pmod{19}), então
\ind_{2}\bigl(x^{33}\bigr) \equiv 33\,y \equiv \ind_{2}(7)=6 \pmod{18}.
Como 33\equiv15\pmod{18}, obtemos
15\,y \equiv 6 \pmod{18}.

Passo 4

Resolvendo 15y\equiv6\pmod{18}: note que \gcd(15,18)=3 e 3\mid6, logo dividimos tudo por 3:
5\,y \equiv 2 \pmod{6}.
Como \gcd(5,6)=1, o inverso de 5 módulo 6 é 5. Multiplicando por 5:
y \equiv 5\cdot2 = 10 \equiv 4 \pmod{6}.
Portanto
y = 4 + 6k, \quad k=0,1,2,
gerando três soluções distintas de y módulo 18: 4,10,16.

Passo 5

Voltamos a x \equiv 2^y\pmod{19}. Para cada y:
y=4: x\equiv2^4=16\pmod{19}.
y=10: x\equiv2^{10}=1024\equiv17\pmod{19}.
y=16: x\equiv2^{16}=(2^8)^2\equiv9^2=81\equiv5\pmod{19}.

Resposta

As soluções da congruência x^{33}\equiv7\pmod{19} são
x \equiv 5,\;16,\;17 \pmod{19}.

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