Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha dada.
\oint_{C}[y d x+(x+y+2 z) d y+(x+2 y) d z],
onde C é a intersecção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=y, orientada no sentido anti horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\bigl[y\,dx + (x+y+2z)\,dy + (x+2y)\,dz\bigr]
onde C é a curva definida pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=y, orientada no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é uma superfície cujo contorno é C.

Passo 2

Identificamos \mathbf{F}=(P,Q,R) com
P=y,\quad Q = x+y+2z,\quad R = x+2y.
O rotacional é
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z},\; \tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x},\; \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculando cada termo:
\tfrac{\partial R}{\partial y}=2,\quad \tfrac{\partial Q}{\partial z}=2 \;\Longrightarrow\; (\nabla\times\mathbf{F})_{1}=2-2=0,
\tfrac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \tfrac{\partial R}{\partial x}=1 \;\Longrightarrow\; (\nabla\times\mathbf{F})_{2}=0-1=-1,
\tfrac{\partial Q}{\partial x}=1,\quad \tfrac{\partial P}{\partial y}=1 \;\Longrightarrow\; (\nabla\times\mathbf{F})_{3}=1-1=0.
Logo
\nabla\times\mathbf{F}=(0,\,-1,\,0).

Passo 3

Escolhemos como superfície S o disco no plano z=y limitado por x^{2}+y^{2}\le1.
A parametrização é
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,y),\quad (x,y)\in D:\;x^{2}+y^{2}\le1.
Os vetores tangentes são
\mathbf{r}_{x}=(1,0,0),\quad \mathbf{r}_{y}=(0,1,1)
e o vetor normal orientado (para que a fronteira seja vista anti-horário de cima) é
\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{y} =(1,0,0)\times(0,1,1) =(0,-1,1).

Passo 4

Aplicando Stokes:
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}(0,-1,0)\cdot(0,-1,1)\,dA =\iint_{D}1\,dA =\text{área}(D) =\pi.á
Portanto,
\oint_{C}\bigl[y\,dx+(x+y+2z)\,dy+(x+2y)\,dz\bigr]=\pi.

Resposta

\pi

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