Determine todas as soluções inteiras da equação
4875 x+2223 y=117

Passo 1

Neste exercício temos a equação diofantina linear 4875x + 2223y = 117. Vamos precisar calcular o máximo divisor comum (mdc) de 4875 e 2223 usando o algoritmo de Euclides e, em seguida aplicar o algoritmo estendido para obter uma solução particular e, por fim, escrever a forma geral das soluções inteiras.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides:
4875 = 2cdot 2223 + 429
2223 = 5cdot 429 + 78
429 = 5cdot 78 + 39
78 = 2cdot 39 + 0
Logo, gcd(4875,2223) = 39.

Passo 3

Verificamos que 39 divide 117, pois tfrac11739 = 3. Como essa condição é satisfeita, existe solução inteira para a equação.

Passo 4

Para obter uma solução particular, usamos o algoritmo estendido. Reescrevendo 39 como combinação de 4875 e 2223:
39 = 429 - 5cdot 78
Como 78 = 2223 - 5cdot 429, segue
39 = 429 - 5(2223 - 5cdot 429) = 26cdot 429 - 5cdot 2223
E 429 = 4875 - 2cdot 2223, então
39 = 26(4875 - 2cdot 2223) - 5cdot 2223 = 26cdot 4875 - 57cdot 2223
Multiplicando por 3:
117 = 78cdot 4875 - 171cdot 2223
Logo, uma solução particular é x0 = 78 e y0 = -171.

Passo 5

A solução geral de uma equação diofantina ax + by = c com d=gcd(a,b) é
x = x0 + bdk, y = y0 - adk, kinZ
Aqui a=4875, b=2223, d=39, logo
x = 78 + 57k, y = -171 - 125k, kinZ

Resposta

As soluções inteiras são x = 78 + 57k,; y = -171 - 125k com kinZ.

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