Determine todas as soluções inteiras da equação
512 x+28 y=48.

Passo 1

A questão é resolver em
úmeros inteiros a seguinte equação diofantina linear:
512x + 28y = 48
O conteúdo aqui é equações diofantinas lineares. Para resolver, vamos precisar do máximo divisor comum (mdc) de 512 e 28, do Teorema de Bézout e do algoritmo de Euclides para encontrar uma solução particular e, por fim, descrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro calculamos o mdc de 512 e 28 usando o algoritmo de Euclides:
512 = 28 times 18 + 8
28 = 8 times 3 + 4
8 = 4 times 2 + 0
Como o último resto não nulo é 4, temos
gcd(512,28) = 4

Passo 3

Verificamos se 4 divide o termo independente 48. Como 4 | 48, a equação tem solução. Então dividimos tudo por 4 para simplificar:
5124x + 284y = 484
128x + 7y = 12

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular de
128x + 7y = 12
Usamos congruências para achar um valor de x módulo 7. Note que 128 equiv 2 pmod7, então
2x equiv 12 pmod7 implies 2x equiv 5 pmod7
O inverso de 2 módulo 7 é 4, pois 2cdot4equiv1pmod7. Logo
x equiv 5cdot4 = 20 equiv 6 pmod7
Tomando x0 = 6, substituímos de volta para achar y0:
128cdot6 + 7y0 = 12 implies 768 + 7y0 = 12 implies 7y0 = -756 implies y0 = -108

Passo 5

Como o mdc depois de dividir era 1 (já dividimos por 4), a solução geral da equação reduzida é dada por
x = x0 + 7t = 6 + 7t,
y = y0 - 128t = -108 - 128t,
para qualquer inteiro t. Portanto, voltando à equação original (é a mesma família de soluções), temos todas as soluções em Z descritas acima.

Resposta

As soluções inteiras são
x = 6 + 7t,
y = -108 - 128t,
onde t é qualquer número inteiro.

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