Determine todas as soluções inteiras da equação
.
Passo 1
A questão é resolver em
úmeros inteiros a seguinte equação diofantina linear:
úmeros inteiros a seguinte equação diofantina linear:
O conteúdo aqui é equações diofantinas lineares. Para resolver, vamos precisar do máximo divisor comum (mdc) de 512 e 28, do Teorema de Bézout e do algoritmo de Euclides para encontrar uma solução particular e, por fim, descrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro calculamos o mdc de 512 e 28 usando o algoritmo de Euclides:
Como o último resto não nulo é 4, temos
Passo 3
Verificamos se 4 divide o termo independente 48. Como 4 | 48, a equação tem solução. Então dividimos tudo por 4 para simplificar:
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular de
Usamos congruências para achar um valor de
módulo 7. Note que
, então
O inverso de 2 módulo 7 é 4, pois
. Logo
Tomando
, substituímos de volta para achar
:
Passo 5
Como o mdc depois de dividir era 1 (já dividimos por 4), a solução geral da equação reduzida é dada por
para qualquer inteiro
. Portanto, voltando à equação original (é a mesma família de soluções), temos todas as soluções em
descritas acima.
Resposta
As soluções inteiras são
x = 6 + 7t,
y = -108 - 128t,
y = -108 - 128t,
onde t é qualquer número inteiro.