Sejam
. Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três números inteiros $ a $, $ b $ e $ c $. O exercício quer que a gente mostre que o máximo divisor comum (mdc) de $ a $ e $ b $ é o mesmo que o mdc de $ a + c \cdot b $ e $ b $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é o mdc e como ele funciona com combinações lineares de números.
Passo 2
Vamos lembrar que o $ mdc(x, y) $ é o maior número que divide tanto $ x $ quanto $ y $. Uma propriedade importante do mdc é que adicionar um múltiplo de um número ao outro não altera o mdc. Ou seja, $ mdc(x, y) = mdc(x + k \cdot y, y) $, onde $ k $ é qualquer inteiro.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos que $ mdc(a, b) = mdc(a + c \cdot b, b) $. Isso porque $ c \cdot b $ é um múltiplo de $ b $, e estamos adicionando isso a $ a $.
Passo 4
Portanto, de acordo com a propriedade mencionada, o máximo divisor comum permanece o mesmo quando adicionamos um múltiplo de um dos números ao outro. Assim, confirmamos que $ mdc(a, b) = mdc(a + c \cdot b, b) $.
Resposta
$ mdc(a, b) = mdc(a + c \cdot b, b) $