Resolva as seguintes inequações trigonométricas, determinando todos os valores reais de
que satisfazem cada condição:
Para quais valores de
tem-se que
?
Para quais valores de
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os
tais que
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função
é a tangente, ou seja . - O valor numérico
aparece como cota superior do valor absoluto da tangente. - A tangente não está definida quando
, isto é em , . Nesses pontos a desigualdade não faz sentido (devemos excluí-los do domínio).
O que precisamos encontrar: todos osreais (com onde está definida) que satisfazem .
Passo 2
Transformar a desigualdade com valor absoluto em duas desigualdades ordinárias:
Uma boa estratégia é resolver essa desigualdade primeiro no intervalo principal onde a tangente é monotônica e contínua:
. Depois usamos a periodicidade da tangente para gerar todas as soluções.
Passo 3
Lembrando propriedades úteis da função
:
-
é ímpar e estritamente crescente em , variando de a . - O período da tangente é
: . -
e .
Como
é crescente em
, a desigualdade
corresponde, nesse intervalo, a
Note que os extremos
são válidos porque
e a desigualdade é do tipo
.
Passo 4
Agora usamos a periodicidade
da tangente para obter todas as soluções: se
satisfaz a desigualdade, então
também satisfaz, para todo
. Assim, deslocando o intervalo central por múltiplos de
, obtemos a solução geral:
Em palavras: em cada período
a região de
que funciona é um intervalo centrado em
de raio
.
Passo 5
Verificações rápidas para garantir que não deixamos passar nada:
- Esses intervalos não contêm os pontos onde a tangente é indefinida
, porque fica a distância de , enquanto nossos intervalos têm raio . Logo não há problema com pontos fora do domínio. - Exemplos numéricos:
pertence (tan ); pertence (tan ); não pertence (tan ? na verdade tan mas está fora do intervalo centrado em ; contudo ele é congruente a e pertence ao intervalo com : isto demonstra a consistência ao considerar todos os ).