Resolva as seguintes inequações trigonométricas, determinando todos os valores reais de x que satisfazem cada condição:
Para quais valores de x tem-se que |\operatorname{tg}(x)| \leq \sqrt{3} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os x\in\mathbb{R} tais que
|\operatorname{tg}(x)| \leq \sqrt{3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função \operatorname{tg}(x) é a tangente, ou seja \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • O valor numérico \sqrt{3} aparece como cota superior do valor absoluto da tangente.
  • A tangente não está definida quando \cos x=0, isto é em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Nesses pontos a desigualdade não faz sentido (devemos excluí-los do domínio).
    O que precisamos encontrar: todos os x reais (com x onde \operatorname{tg}(x) está definida) que satisfazem |\operatorname{tg}(x)|\le\sqrt{3}.

Passo 2

Transformar a desigualdade com valor absoluto em duas desigualdades ordinárias:
|\operatorname{tg}(x)|\le\sqrt{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{3}\le \operatorname{tg}(x)\le\sqrt{3}.
Uma boa estratégia é resolver essa desigualdade primeiro no intervalo principal onde a tangente é monotônica e contínua: \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Depois usamos a periodicidade da tangente para gerar todas as soluções.

Passo 3

Lembrando propriedades úteis da função \operatorname{tg}:
  • \operatorname{tg} é ímpar e estritamente crescente em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), variando de -\infty a +\infty.
  • O período da tangente é \pi: \operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}(x).
  • \operatorname{arctg}(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3} e \operatorname{arctg}(-\sqrt{3})=-\dfrac{\pi}{3}.
Como \operatorname{tg} é crescente em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), a desigualdade
-\sqrt{3}\le \operatorname{tg}(x)\le\sqrt{3}
corresponde, nesse intervalo, a
-\dfrac{\pi}{3}\le x\le \dfrac{\pi}{3}.
Note que os extremos x=\pm \dfrac{\pi}{3} são válidos porque \operatorname{tg}\!\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)=\pm\sqrt{3} e a desigualdade é do tipo \le.

Passo 4

Agora usamos a periodicidade \pi da tangente para obter todas as soluções: se x satisfaz a desigualdade, então x+k\pi também satisfaz, para todo k\in\mathbb{Z}. Assim, deslocando o intervalo central por múltiplos de \pi, obtemos a solução geral:
x\in\left[-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\\ \dfrac{\pi}{3}+k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}.
Em palavras: em cada período \pi a região de x que funciona é um intervalo centrado em k\pi de raio \dfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Verificações rápidas para garantir que não deixamos passar nada:
  • Esses intervalos não contêm os pontos onde a tangente é indefinida x=\dfrac{\pi}{2}+m\pi, porque \dfrac{\pi}{2}+m\pi fica a distância \dfrac{\pi}{2} de m\pi, enquanto nossos intervalos têm raio \dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}. Logo não há problema com pontos fora do domínio.
  • Exemplos numéricos: x=0 pertence (tan 0=0\le\sqrt3); x=\dfrac{\pi}{4} pertence (tan \pi/4=1\le\sqrt3); x=\dfrac{2\pi}{3} não pertence (tan 2\pi/3=-\sqrt3? na verdade tan 2\pi/3=-\sqrt3 mas 2\pi/3=\pi - \pi/3 está fora do intervalo centrado em \pi; contudo ele é congruente a -\pi/3+\pi e pertence ao intervalo com k=1: isto demonstra a consistência ao considerar todos os k\in\mathbb{Z}).

Resposta

x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[\,k\pi-\dfrac{\pi}{3},\;k\pi+\dfrac{\pi}{3}\,\right].

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