Prove a relação \operatorname{sec} ^{2}(\arctan (x))=1+x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\operatorname{sec}^{2}\big(\arctan(x)\big)=1+x^{2},
para todo x\in\mathbb{R}. Não há outros dados numéricos; a tarefa é mostrar que a igualdade vale sempre. Vou trabalhar passo a passo, definindo tudo certinho.

Passo 2

Definições e identidade trigonométrica básica que vamos usar:
  • Para um ângulo \theta em que o cosseno não é zero, define-se \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \qquad\text{e}\qquad \operatorname{sec}(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}.Aqui \sin(\theta) e \cos(\theta) são as funções seno e cosseno usuais.
  • A identidade pitagórica fundamental é \sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1.Essa identidade é válida para todo \theta.
Agora, dividimos a identidade pitagórica por \cos^{2}(\theta). Isso é legítimo enquanto \cos(\theta)\neq0. Observação importante: se \theta=\arctan(x), então \theta\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big), portanto \cos(\theta)\neq0. Assim podemos dividir sem problema. Dividindo,
\frac{\sin^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}+\frac{\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}= \frac{1}{\cos^{2}(\theta)}.
Usando as definições de \tan e \operatorname{sec} isso vira
\tan^{2}(\theta)+1=\operatorname{sec}^{2}(\theta).

Passo 3

Agora faça a substituição que conecta a arctangente: seja \theta=\arctan(x). Pela definição da função arco-tangente, tem-se
\tan(\theta)=x.
Aplicando a identidade do passo anterior para esse \theta,
\operatorname{sec}^{2}(\theta)=1+\tan^{2}(\theta).
Substituindo \tan(\theta)=x obtemos
\operatorname{sec}^{2}\big(\arctan(x)\big)=1+x^{2}.

Passo 4

(Método alternativo, geométrico, para intuir a igualdade) Considere um triângulo retângulo em que o ângulo agudo é \theta e \tan(\theta)=x. Podemos tomar cateto oposto igual a x e cateto adjacente igual a 1. Pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa vale \sqrt{1+x^{2}}. Então
\operatorname{sec}(\theta)=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{adjacente}}=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{1}=\sqrt{1+x^{2}},
e elevando ao quadrado aparece novamente
\operatorname{sec}^{2}(\theta)=1+x^{2}.
Tomando \theta=\arctan(x) chega-se à mesma conclusão.

Resposta

\operatorname{sec}^{2}\big(\arctan(x)\big)=1+x^{2}

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