Prove a relação
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
para todo
. Não há outros dados numéricos; a tarefa é mostrar que a igualdade vale sempre. Vou trabalhar passo a passo, definindo tudo certinho.
Passo 2
Definições e identidade trigonométrica básica que vamos usar:
- Para um ângulo
em que o cosseno não é zero, define-se Aqui e são as funções seno e cosseno usuais. - A identidade pitagórica fundamental é
Essa identidade é válida para todo .
Agora, dividimos a identidade pitagórica por
. Isso é legítimo enquanto
. Observação importante: se
, então
, portanto
. Assim podemos dividir sem problema. Dividindo,
Usando as definições de
e
isso vira
Passo 3
Agora faça a substituição que conecta a arctangente: seja
. Pela definição da função arco-tangente, tem-se
Aplicando a identidade do passo anterior para esse
,
Substituindo
obtemos
Passo 4
(Método alternativo, geométrico, para intuir a igualdade) Considere um triângulo retângulo em que o ângulo agudo é
e
. Podemos tomar cateto oposto igual a
e cateto adjacente igual a
. Pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa vale
. Então
e elevando ao quadrado aparece novamente
Tomando
chega-se à mesma conclusão.