Determine todos os elementos invertíveis de \mathbb{Z}_{20} e \mathbb{Z}_{35}

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os elementos invertíveis (unidades) em \mathbb{Z}_{20} e em \mathbb{Z}_{35}.
Conteúdo: teoria de anéis \mathbb{Z}_n e critério de invertibilidade baseado no máximo divisor comum.

Passo 2

Em \mathbb{Z}_n, um elemento [a] é invertível se, e somente se, \gcd(a,n)=1. Logo, para cada n\in\{20,35\} basta listar todos os a com 1\le a<n tais que \gcd(a,n)=1.

Passo 3

Aplicando para n=20:
– Observe que \gcd(a,20)>1 sempre que a for par (divisível por 2) ou múltiplo de 5.
– Logo só podem restar os ímpares que não sejam múltiplos de 5.
– Esses são
1,\;3,\;7,\;9,\;11,\;13,\;17,\;19,
totalizando \varphi(20)=8 unidades.

Passo 4

Aplicando para n=35:
– Aqui \gcd(a,35)>1 sempre que a for múltiplo de 5 ou de 7.
– Então os invertíveis são os inteiros de 1 a 34 que não são múltiplos de 5 nem de 7.
– Fazendo a exclusão, obtemos 24 elementos, que são
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;9,\;11,\;12,\;13,\;16,\;17,\;18,\;19,\;22,\;23,\;24,\;26,\;27,\;29,\;31,\;32,\;33,\;34,
coerente com \varphi(35)=24.

Resposta

Os elementos invertíveis em cada anel são:
\mathbb{Z}_{20}^* \;=\;\{\,1,3,7,9,11,13,17,19\},
\mathbb{Z}_{35}^* \;=\;\{\,1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34\}.

Exercícios relacionados