Determine todos os elementos quadrados de \mathbb{Z}_{7}, \mathbb{Z}_{8} e \mathbb{Z}_{11}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os elementos quadrados em \mathbb{Z}_{7}, \mathbb{Z}_{8} e \mathbb{Z}_{11}. O conteúdo envolve a definição de elemento quadrado (ou resíduo quadrático) num anel \mathbb{Z}_n: um elemento [a] é quadrado se existe [x] tal que [x]^2=[a]. Para resolver, vamos simplesmente calcular [x]^2 para x\in\{0,1,\dots,n-1\} e reunir os valores distintos.

Passo 2

Em geral, para um inteiro n, definimos o conjunto de quadrados em \mathbb{Z}_n como
\{[x]^2\mid x=0,1,\dots,n-1\}.
Note que [x]^2=[n-x]^2, então basta calcular até \lfloor n/2\rfloor para evitar repetições, mas podemos listar todos e depois extrair os distintos.

Passo 3

No caso de n=7, calculamos [x]^2\pmod 7 para x=0,1,2,3:
0^2\equiv0,\quad 1^2\equiv1,\quad 2^2\equiv4,\quad 3^2\equiv2\pmod7.
Os demais x geram valores já obtidos. Assim os quadrados em \mathbb{Z}_7 são \{0,1,2,4\}.

Passo 4

Para n=8, fazemos x^2\pmod 8 para x=0,1,2,3,4:
0^2\equiv0,\quad 1^2\equiv1,\quad 2^2\equiv4,\quad 3^2\equiv1,\quad 4^2\equiv0\pmod8.
Logo os quadrados em \mathbb{Z}_8 são \{0,1,4\}.

Passo 5

Para n=11, calculamos para x=0,1,2,3,4,5:
0^2\equiv0,\quad 1^2\equiv1,\quad 2^2\equiv4,\quad 3^2\equiv9,\quad 4^2\equiv5,\quad 5^2\equiv3\pmod{11}.
Os restantes repetem esses valores por simetria. Logo em \mathbb{Z}_{11} os quadrados são \{0,1,3,4,5,9\}.

Resposta

\mathbb{Z}_{7}: \{0,1,2,4\}
\mathbb{Z}_{8}: \{0,1,4\}
\mathbb{Z}_{11}: \{0,1,3,4,5,9\}

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