Determine todos os elementos invertíveis de
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os elementos invertíveis (unidades) em
e em
.
Conteúdo: teoria de anéis e critério de invertibilidade baseado no máximo divisor comum.
Conteúdo: teoria de anéis
Passo 2
Em
, um elemento
é invertível se, e somente se,
. Logo, para cada
basta listar todos os
com
tais que
.
Passo 3
Aplicando para
:
– Observe que sempre que
for par (divisível por 2) ou múltiplo de 5.
– Logo só podem restar os ímpares que não sejam múltiplos de 5.
– Esses são
– Observe que
– Logo só podem restar os ímpares que não sejam múltiplos de 5.
– Esses são
totalizando
unidades.
Passo 4
Aplicando para
:
– Aqui sempre que
for múltiplo de 5 ou de 7.
– Então os invertíveis são os inteiros de 1 a 34 que não são múltiplos de 5 nem de 7.
– Fazendo a exclusão, obtemos 24 elementos, que são
– Aqui
– Então os invertíveis são os inteiros de 1 a 34 que não são múltiplos de 5 nem de 7.
– Fazendo a exclusão, obtemos 24 elementos, que são
coerente com
.
Resposta
Os elementos invertíveis em cada anel são: