Determine todos os inteiros positivos tais que 2 n-1 divide n^3+1.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros positivos n tais que 2n-1 divide n^3+1. Vamos usar ideias de divisibilidade e aritmética modular.

Passo 2

Definimos d = 2n - 1. Então a condição 2n-1 mid n^3+1 vira d mid n^3+1. Como d é ímpar, temos gcd(d,8)=1 e, portanto,
Substituímos n = d+12 em 8(n^3+1) para evitar frações. Obtemos:
8l(n^3 + 1r) = (d+1)^3 + 8 = d^3 + 3d^2 + 3d + 9
Reduzindo módulo d, todos os termos com d são nulos, sobrando
8(n^3 + 1) equiv 9 pmodd,

Passo 3

então a divisibilidade é equivalente a d mid 9, isto é, 2n-1 deve ser divisor positivo de 9.

Passo 4

Os divisores positivos de 9 são 1, 3 e 9. Resolvendo 2n-1 = 1,2,5 obtemos n = 1,2,5. Verificação direta confirma que nesses valores 2n-1 realmente divide n^3+1.

Resposta

Os inteiros positivos que funcionam são 1, 2 e 5.

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