Encontre todos os números naturais n tais que 2 n^2+1 divide n^3+9 n-17.

Passo 1

A questão pede para achar todos os naturais n tais que 2n^2+1 divide n^3+9n-17. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e algoritmo de Euclides aplicado a polinômios (mas mantendo coeficientes inteiros). Vamos precisar usar propriedades de gcd e estimar possibilidades via desigualdades.

Passo 2

Para evitar frações, multiplicamos o polinômio sendo dividido por 2. Definimos
f1(n)=2l(n^3+9n-17r)=2n^3+18n-34
e o divisor
g(n)=2n^2+1
Aplicamos o algoritmo de Euclides: dividimos f1(n) por g(n): o quociente é n e o resto é
R(n)=f1(n)-n,g(n)=(2n^3+18n-34)-(2n^3+n)=17n-34
Como gcd(g,2)=1, ter g(n)mid n^3+9n-17 equivale a ter g(n)mid R(n), ou seja, logo queremos
2n^2+1mid 17n-34
Agora estudamos dois casos: quando 17n-34=0 e quando 17n-34neq0.

Passo 3

Se 17n-34=0 então n=2. Nesse caso 2n^2+1=9 e realmente 9mid0. Assim n=2 é solução.

Passo 4

Se 17n-34neq0, então, para haver divisibilidade, devemos ter
|17n-34|;>=;2n^2+1
Dividimos em subcasos:
  1. Se 17n-34>0, então n>2 e
17n-34>=2n^2+1;Long<=ftrightarrow;2n^2-17n+35<=0
O discriminante é 17^2-4cdot2cdot35=9, dando raízes reais em n=3.5 e n=5. Logo a desigualdade vale só em 3.5<= n<=5, isto é n=4 ou n=5. Testando:
  • Para n=4, 2n^2+1=33 e 17n-34=34, mas 33nmid34.
  • Para n=5, 2n^2+1=51 e 17n-34=51, e 51mid51. Bom.

Passo 5

  1. Se 17n-34<0, isto é n<2, há só n=1. Testamos:
    2cdot1^2+1=3 e 17cdot1-34=-17, mas 3nmid17.

Passo 6

Concluímos que os únicos ninN são 2 e 5.

Resposta

Os valores de n que satisfazem a condição são 2 e 5.

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