Encontre todos os números naturais
tais que
divide
.
Passo 1
A questão pede para achar todos os naturais
tais que
divide
. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e algoritmo de Euclides aplicado a polinômios (mas mantendo coeficientes inteiros). Vamos precisar usar propriedades de gcd e estimar possibilidades via desigualdades.
Passo 2
Para evitar frações, multiplicamos o polinômio sendo dividido por 2. Definimos
e o divisor
Aplicamos o algoritmo de Euclides: dividimos
por
: o quociente é
e o resto é
Como
, ter
equivale a ter
, ou seja, logo queremos
Agora estudamos dois casos: quando
e quando
.
Passo 3
Se
então
. Nesse caso
e realmente
. Assim
é solução.
Passo 4
Se
, então, para haver divisibilidade, devemos ter
Dividimos em subcasos:
- Se
, então e
O discriminante é
, dando raízes reais em
e
. Logo a desigualdade vale só em
, isto é
ou
. Testando:
- Para
, e , mas . - Para
, e , e . Bom.
Passo 5
- Se
, isto é , há só . Testamos:
e , mas .
Passo 6
Concluímos que os únicos
são 2 e 5.
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são 2 e 5.