Determine todos os intervalos onde cada função dada a seguir é crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função $ g(x) = 2x^{3} - 9x^{2} - 60x $ está crescendo ou decrescendo. Pra isso, vamos precisar usar derivadas, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ g(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está mudando em cada ponto.
A derivada de $ g(x) $ é:
Passo 3
Agora, queremos saber quando a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente). Para isso, vamos resolver a inequação:
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos por 6:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - 3x - 10 = 0 $ para encontrar os pontos críticos. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos: $ x < -2 $, $ -2 < x < 5 $ e $ x > 5 $. Vamos testar cada intervalo na derivada para ver se é positivo ou negativo.
- Para $ x < -2 $ (por exemplo, $ x = -3 $):
Então, $ g(x) $ está crescendo nesse intervalo.
- Para $ -2 < x < 5 $ (por exemplo, $ x = 0 $):
Então, $ g(x) $ está decrescendo nesse intervalo.
- Para $ x > 5 $ (por exemplo, $ x = 6 $):
Então, $ g(x) $ está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A função $ g(x) = 2x^{3} - 9x^{2} - 60x $ é crescente nos intervalos $ (-\infty, -2) $ e $ (5, +\infty) $, e é decrescente no intervalo $ (-2, 5) $.