Calcule todas as soluções que satisfazem a expressão abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os números complexos $ z $ que satisfazem a equação $ \sin(z) = i $. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas para números complexos e álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária. Então, vamos considerar $ z = x + iy $ na nossa equação.
Passo 3
Agora, precisamos expressar $ \sin(z) $ quando $ z $ é um número complexo. A fórmula para isso é:
onde $ \sin $ e $ \cos $ são funções trigonométricas usuais, e $ \cosh $ e $ \sinh $ são as funções hiperbólicas.
Passo 4
A nossa equação é $ \sin(z) = i $. Substituindo a expressão de $ \sin(z) $ que encontramos:
Agora, vamos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação.
Passo 5
Igualando as partes reais:
E as partes imaginárias:
Vamos resolver cada uma dessas equações.
Passo 6
Vamos começar com a parte real: $ \sin(x)\cosh(y) = 0 $. Como $ \cosh(y) $ nunca é zero para números reais $ y $, isso implica que $ \sin(x) = 0 $. As soluções para isso são:
Agora, substituindo $ x = k\pi $ na parte imaginária:
Sabemos que $ \cos(k\pi) = (-1)^k $, então:
A solução para $ \sinh(y) = a $ é $ y = \ln(a + \sqrt{a^2 + 1}) $. Portanto:
Passo 7
Juntando tudo, as soluções para $ z $ são:
Resposta
Todas as soluções são $ z = k\pi + i,(-1)^k,\ln\big(!1 + \sqrt{2},\big) $ para todo inteiro $ k $. Ou seja,