Calcule todas as soluções que satisfazem a expressão abaixo
sen(z)=i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os números complexos $ z $ que satisfazem a equação $ \sin(z) = i $. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas para números complexos e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária. Então, vamos considerar $ z = x + iy $ na nossa equação.

Passo 3

Agora, precisamos expressar $ \sin(z) $ quando $ z $ é um número complexo. A fórmula para isso é:
sin(z)
onde $ \sin $ e $ \cos $ são funções trigonométricas usuais, e $ \cosh $ e $ \sinh $ são as funções hiperbólicas.

Passo 4

A nossa equação é $ \sin(z) = i $. Substituindo a expressão de $ \sin(z) $ que encontramos:
sin(z) = i
Agora, vamos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação.

Passo 5

Igualando as partes reais:
sin(x)cosh(y) = 0
E as partes imaginárias:
cos(x)sinh(y) = 1
Vamos resolver cada uma dessas equações.

Passo 6

Vamos começar com a parte real: $ \sin(x)\cosh(y) = 0 $. Como $ \cosh(y) $ nunca é zero para números reais $ y $, isso implica que $ \sin(x) = 0 $. As soluções para isso são:
sin(x)cosh(y) = 0 é
Agora, substituindo $ x = k\pi $ na parte imaginária:
cosh(y)
Sabemos que $ \cos(k\pi) = (-1)^k $, então:
y
A solução para $ \sinh(y) = a $ é $ y = \ln(a + \sqrt{a^2 + 1}) $. Portanto:
sin(x) = 0

Passo 7

Juntando tudo, as soluções para $ z $ são:
z é

Resposta

Todas as soluções são $ z = k\pi + i,(-1)^k,\ln\big(!1 + \sqrt{2},\big) $ para todo inteiro $ k $. Ou seja,
z = kpi + i,(-1)^k,ln(!1 + raiz2,)

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