Determine todos os números complexos
tais que
é real
Passo 1
O enunciado quer todos os números complexos z tais que f(z)=e^{z} seja real. O conteúdo aqui é exponencial de variável complexa e a gente vai precisar usar a forma padrão e^{x+iy} para analisar partes real e imaginária.
Passo 2
Seja z = x + i y, com x e y reais. Então a gente escreve
Passo 3
Para que e^{z} seja um número real, a parte imaginária precisa ser zero. Como e^{x} nunca zera (é sempre positivo), a condição se reduz a
Passo 4
A equação
tem solução quando
Logo, os números complexos z que satisfazem a condição são
Passo 5
Podemos conferir que para esses z vale
o que é realmente um número real.
Resposta
Os números complexos são z = x + i,k\pi, com x ∈ ℝ e k ∈ ℤ.