Determine todos os números complexos z tais que f(z)=e^z é real

Passo 1

O enunciado quer todos os números complexos z tais que f(z)=e^{z} seja real. O conteúdo aqui é exponencial de variável complexa e a gente vai precisar usar a forma padrão e^{x+iy} para analisar partes real e imaginária.

Passo 2

Seja z = x + i y, com x e y reais. Então a gente escreve
e^z = e^x+iy = e^xl(cos y + i,sin yr)

Passo 3

Para que e^{z} seja um número real, a parte imaginária precisa ser zero. Como e^{x} nunca zera (é sempre positivo), a condição se reduz a
sin y = 0

Passo 4

A equação sin y = 0 tem solução quando
y = kpi, k in Z
Logo, os números complexos z que satisfazem a condição são
z = x + i,kpi, xinR,;kinZ

Passo 5

Podemos conferir que para esses z vale
e^z = e^x cos(kpi) = e^x(-1)^k,
o que é realmente um número real.

Resposta

Os números complexos são z = x + i,k\pi, com x ∈ ℝ e k ∈ ℤ.

Exercícios relacionados