Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2022). \sqrt{3 x+6}+\sqrt{2-x}=4.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais x que satisfazem a equação
\sqrt{3x+6}+\sqrt{2-x}=4.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve duas raízes quadradas: \sqrt{3x+6} e \sqrt{2-x}.
  • Precisamos achar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.
Antes de tentar manipular a equação, devemos anotar as restrições naturais (domínio) impostas pelas raízes quadradas:
3x+6 \ge 0 \quad\text{e}\quad 2-x \ge 0.
Vou calcular cada uma.

Passo 2

Determinar o domínio das expressões radicais.
Resolver 3x+6 \ge 0:
3x+6 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x \ge -6 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -2.
Resolver 2-x \ge 0:
2-x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -x \ge -2 \quad\Longrightarrow\quad x \le 2.
Portanto o domínio da equação é o intervalo
x\in[-2,2].
Qualquer candidato fora desse intervalo é automaticamente descartado.

Passo 3

Escolha do método e observação importante.
Método: isolar uma das raízes e elevar ao quadrado para eliminar radicais — procedimento padrão para equações com raízes quadradas. Atenção: quando elevamos ao quadrado podemos introduzir soluções extranhas (que não satisfazem a equação original). Por isso todo resultado deve ser verificado no final na equação original.
Vou isolar \sqrt{3x+6}:
\sqrt{3x+6}=4-\sqrt{2-x}.

Passo 4

Elevar ambos os lados ao quadrado. Antes, lembro a fórmula de expansão: para quaisquer a,b vale (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Aplicando com a=4 e b=\sqrt{2-x}:
\bigl(4-\sqrt{2-x}\bigr)^2 = 16 - 8\sqrt{2-x} + (2-x).
Agora escrevo a igualdade após elevar ao quadrado:
3x+6 = 16 - 8\sqrt{2-x} + 2 - x.
Simplifico o lado direito somando constantes 16+2=18:
3x+6 = 18 - x - 8\sqrt{2-x}.

Passo 5

Isolo o termo com a raiz no lado direito. Primeiro levo os termos algébricos para um lado:
3x+6 -18 + x = -8\sqrt{2-x}.
Calculo 3x + x = 4x e 6-18=-12, então
4x -12 = -8\sqrt{2-x}.
Multiplico por -1 (para deixar a raiz com sinal positivo) e depois divido por 4 para simplificar:
-4x +12 = 8\sqrt{2-x} \quad\Longrightarrow\quad -x +3 = 2\sqrt{2-x}.
Ou escrevendo de forma mais direta:
2\sqrt{2-x} = 3 - x.
Observação: o lado esquerdo 2\sqrt{2-x} é não negativo, portanto o lado direito deve também ser não negativo. Assim podemos anotar a condição extra (embora no nosso caso o domínio já exija x\le2, isso é compatível):
3-x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le 3,
que não elimina nenhum ponto do domínio [-2,2].

Passo 6

Volto a elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a última raiz. Elevando:
\bigl(2\sqrt{2-x}\bigr)^2 = (3-x)^2.
Calculo cada lado:
4(2-x) = (3-x)^2.
Expandindo:
8 - 4x = 9 - 6x + x^2.

Passo 7

Coloco tudo em um lado para obter uma equação polinomial:
0 = 9 - 6x + x^2 - 8 + 4x.
Simplifico 9-8=1 e -6x+4x=-2x:
0 = x^2 - 2x + 1.
Reconheço um quadrado perfeito:
x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2.
Logo
(x-1)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 8

Verificação na equação original (passo obrigatório para descartar soluções extranhas).
Substituo x=1 em \sqrt{3x+6}+\sqrt{2-x}:
\sqrt{3\cdot 1 + 6} + \sqrt{2-1} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4,
que coincide exatamente com o lado direito da equação original. Além disso x=1 pertence ao domínio [-2,2]. Portanto x=1 é uma solução válida.
Também é bom checar se possivelmente apareceria alguma outra solução ao longo do processo: a equação polinomial resultou no único x=1 (raiz dupla), então não há outras candidatas a verificar.

Resposta

x=1

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