Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2022).
.
(B2-2022).
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A incógnita é
. - A equação envolve duas raízes quadradas:
e . - Precisamos achar todos os
que tornam a igualdade verdadeira.
Antes de tentar manipular a equação, devemos anotar as restrições naturais (domínio) impostas pelas raízes quadradas:
Vou calcular cada uma.
Passo 2
Determinar o domínio das expressões radicais.
Resolver :
Resolver
Resolver
:
Portanto o domínio da equação é o intervalo
Qualquer candidato fora desse intervalo é automaticamente descartado.
Passo 3
Escolha do método e observação importante.
Método: isolar uma das raízes e elevar ao quadrado para eliminar radicais — procedimento padrão para equações com raízes quadradas. Atenção: quando elevamos ao quadrado podemos introduzir soluções extranhas (que não satisfazem a equação original). Por isso todo resultado deve ser verificado no final na equação original.
Método: isolar uma das raízes e elevar ao quadrado para eliminar radicais — procedimento padrão para equações com raízes quadradas. Atenção: quando elevamos ao quadrado podemos introduzir soluções extranhas (que não satisfazem a equação original). Por isso todo resultado deve ser verificado no final na equação original.
Vou isolar
:
Passo 4
Elevar ambos os lados ao quadrado. Antes, lembro a fórmula de expansão: para quaisquer
vale
. Aplicando com
e
:
Agora escrevo a igualdade após elevar ao quadrado:
Simplifico o lado direito somando constantes
:
Passo 5
Isolo o termo com a raiz no lado direito. Primeiro levo os termos algébricos para um lado:
Calculo
e
, então
Multiplico por
(para deixar a raiz com sinal positivo) e depois divido por
para simplificar:
Ou escrevendo de forma mais direta:
Observação: o lado esquerdo
é não negativo, portanto o lado direito deve também ser não negativo. Assim podemos anotar a condição extra (embora no nosso caso o domínio já exija
, isso é compatível):
que não elimina nenhum ponto do domínio
.
Passo 6
Volto a elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a última raiz. Elevando:
Calculo cada lado:
Expandindo:
Passo 7
Coloco tudo em um lado para obter uma equação polinomial:
Simplifico
e
:
Reconheço um quadrado perfeito:
Logo
Passo 8
Verificação na equação original (passo obrigatório para descartar soluções extranhas).
Substituo em
:
Substituo
que coincide exatamente com o lado direito da equação original. Além disso
pertence ao domínio
. Portanto
é uma solução válida.
Também é bom checar se possivelmente apareceria alguma outra solução ao longo do processo: a equação polinomial resultou no único
(raiz dupla), então não há outras candidatas a verificar.