Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2021). \sqrt{1-3 x}+2=\sqrt{9-6 x}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais x que satisfazem
\sqrt{1-3x}+2=\sqrt{9-6x}.
Informações dadas e observações iniciais (tudo que o enunciado fornece):
  • A equação envolve raízes quadradas \sqrt{1-3x} e \sqrt{9-6x}.
  • Para que essas raízes sejam reais é preciso que os radicandos sejam não negativos: 1-3x\ge0 e 9-6x\ge0.
  • A tarefa é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade acima (e que respeitem o domínio das raízes).

Passo 2

Determinar o domínio (condições sobre x impostas pelas raízes).
  • Da primeira raiz: 1-3x\ge0 implica
1-3x\ge0 \quad\Rightarrow\quad -3x\ge-1 \quad\Rightarrow\quad x\le\frac{1}{3}.
  • Da segunda raiz: 9-6x\ge0 implica
9-6x\ge0 \quad\Rightarrow\quad -6x\ge-9 \quad\Rightarrow\quad x\le\frac{3}{2}.
A interseção das duas condições é x\le\frac{1}{3}. Portanto só devemos procurar soluções com x\le\frac{1}{3}.

Passo 3

Isolar e eliminar raízes: subtrai \sqrt{1-3x} de ambos os lados e aplica a identidade (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
\sqrt{9-6x}-\sqrt{1-3x}=2.
Agora elevamos ao quadrado os dois lados:
\bigl(\sqrt{9-6x}-\sqrt{1-3x}\bigr)^2 = 2^2.
Pelo desenvolvimento,
9-6x + 1-3x - 2\sqrt{(9-6x)(1-3x)} = 4.
Somando os termos 9-6x+1-3x e simplificando:
10 - 9x - 2\sqrt{(9-6x)(1-3x)} = 4.

Passo 4

Isolar a raiz resultante e simplificar:
-2\sqrt{(9-6x)(1-3x)} = 4-10+9x = 9x-6.
Multiplicando por -1:
2\sqrt{(9-6x)(1-3x)} = 6-9x.
Dividindo por 2:
\sqrt{(9-6x)(1-3x)} = 3 - \frac{9}{2}x.
Observação importante de sinal: o lado esquerdo é uma raiz quadrada, portanto é não negativo; assim o lado direito também precisa ser \ge0. Isso dá a condição
3 - \frac{9}{2}x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \le \frac{2}{3},
que é compatível com o domínio x\le\frac{1}{3} já obtido.

Passo 5

Elevar ao quadrado de novo para eliminar a raiz restante. Primeiro expandir o produto no lado esquerdo:
(9-6x)(1-3x)=9 -33x + 18x^2.
O quadrado do lado direito é
\left(3 - \frac{9}{2}x\right)^2 = 9 - 27x + \frac{81}{4}x^2.
Igualando:
9 -33x + 18x^2 = 9 -27x + \frac{81}{4}x^2.
Subtrair 9 de ambos os lados e reunir termos:
-33x + 18x^2 = -27x + \frac{81}{4}x^2.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
-33x + 18x^2 +27x - \frac{81}{4}x^2 = 0
-6x + \left(18 - \frac{81}{4}\right)x^2 = 0.
Calcular 18-\frac{81}{4}=\frac{72-81}{4}=-\frac{9}{4}. Assim
-6x - \frac{9}{4}x^2 = 0.
Multiplicando por -1:
6x + \frac{9}{4}x^2 = 0.
Fatorando x:
x\left(6 + \frac{9}{4}x\right)=0.
Portanto as soluções candidatas são
x=0 \quad\text{ou}\quad 6+\frac{9}{4}x=0 \Rightarrow x=-\frac{6\cdot4}{9}=-\frac{24}{9}=-\frac{8}{3}.

Passo 6

Verificação das candidatas (passo obrigatório porque elevamos ao quadrado duas vezes e isso pode introduzir raízes extranhas).
  • Para x=0:
\sqrt{1-3\cdot0}+2=\sqrt{1}+2=1+2=3, \qquad \sqrt{9-6\cdot0}=\sqrt{9}=3.
Igualdade satisfeita; x=0 é solução e respeita o domínio x\le\frac{1}{3}.
  • Para x=-\frac{8}{3}:
    Calcular radicandos (observe que x=-\frac{8}{3} foi obtido e verifica o domínio x\le\frac{1}{3}):
1-3x = 1-3\Bigl(-\frac{8}{3}\Bigr)=1+8=9,\qquad \sqrt{1-3x}=3.
9-6x = 9-6\Bigl(-\frac{8}{3}\Bigr)=9+16=25,\qquad \sqrt{9-6x}=5.
Então
\sqrt{1-3x}+2 = 3+2=5 = \sqrt{9-6x},
logo x=-\frac{8}{3} também satisfaz a equação.
Como ambas as candidatas pertencem ao domínio e satisfazem a igualdade original, não há raízes extranhas a descartar.

Resposta

-\dfrac{8}{3}
0

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