Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2021).
.
(B2-2021).
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números reais
que satisfazem
Informações dadas e observações iniciais (tudo que o enunciado fornece):
- A equação envolve raízes quadradas
e . - Para que essas raízes sejam reais é preciso que os radicandos sejam não negativos:
e . - A tarefa é encontrar todos os
que satisfazem a igualdade acima (e que respeitem o domínio das raízes).
Passo 2
Determinar o domínio (condições sobre
impostas pelas raízes).
- Da primeira raiz:
implica
- Da segunda raiz:
implica
A interseção das duas condições é
. Portanto só devemos procurar soluções com
.
Passo 3
Isolar e eliminar raízes: subtrai
de ambos os lados e aplica a identidade
.
Agora elevamos ao quadrado os dois lados:
Pelo desenvolvimento,
Somando os termos
e simplificando:
Passo 4
Isolar a raiz resultante e simplificar:
Multiplicando por
:
Dividindo por
:
Observação importante de sinal: o lado esquerdo é uma raiz quadrada, portanto é não negativo; assim o lado direito também precisa ser
. Isso dá a condição
que é compatível com o domínio
já obtido.
Passo 5
Elevar ao quadrado de novo para eliminar a raiz restante. Primeiro expandir o produto no lado esquerdo:
O quadrado do lado direito é
Igualando:
Subtrair
de ambos os lados e reunir termos:
Passando todos os termos para o mesmo lado:
Calcular
. Assim
Multiplicando por
:
Fatorando
:
Portanto as soluções candidatas são
Passo 6
Verificação das candidatas (passo obrigatório porque elevamos ao quadrado duas vezes e isso pode introduzir raízes extranhas).
- Para
:
Igualdade satisfeita;
é solução e respeita o domínio
.
- Para
:
Calcular radicandos (observe quefoi obtido e verifica o domínio ):
Então
logo
também satisfaz a equação.
Como ambas as candidatas pertencem ao domínio e satisfazem a igualdade original, não há raízes extranhas a descartar.