Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: determinar todos os números reais
que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Aparecem as raízes quadradas
e , logo há restrições de domínio sobre (os radicandos devem ser não negativos). - A incógnita é
. - Objetivo: encontrar todos os
reais que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Determinar o domínio (valores de
que tornam as raízes bem-definidas).
Para
é preciso ter
, isto é
Para
é preciso ter
, isto é
A interseção dessas condições é
. Portanto só precisamos procurar soluções com
Passo 3
Facilitar a equação por substituição. Defino
Aqui
é não negativo (
) porque raiz quadrada retorna valor
. Em termos de
temos
Agora expressar
em função de
:
logo
A equação original passa a ser
com a condição
.
Passo 4
Eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado. Antes de fazer isso, verifico sinais: o lado direito
é
, e o lado esquerdo
é
. Como ambos os lados são não negativos, elevar ao quadrado não introduz ambiguidade de sinal (mas pode introduzir raízes extranhas em outras situações; por isso sempre checamos as soluções depois).
Elevando ao quadrado:
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
Passo todos os termos para um lado:
Simplificando:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
Uso a fórmula de Bhaskara: para
as raízes são
Aqui
,
,
. O discriminante é
Logo
Obtemos duas soluções formais para
:
e
.
Passo 6
Aplicar a condição
. Temos
, enquanto
porque
. Como
deve ser
, rejeitamos
e mantemos
Passo 7
Voltar para
. Lembrando que
, temos
Calcular o quadrado:
Portanto
Passo 8
Verificação direta (importante porque elevamos ao quadrado anteriormente). Substituir
na equação original:
Calcular
:
(porque
e
).
Calcular
:
e
(pois
e
).
Agora a direita da equação original é
que coincide com
. Logo
satisfaz a equação.
Passo 9
Concluir que não há outras soluções válidas: a segunda raiz para
foi negativa e foi rejeitada; portanto a única solução real da equação no domínio
é
.