Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(\mathrm{B} 2-2021) \cdot \sqrt{2 x+1}=1+\sqrt{x+1}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{x+1}
e pede: determinar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Aparecem as raízes quadradas \sqrt{2x+1} e \sqrt{x+1}, logo há restrições de domínio sobre x (os radicandos devem ser não negativos).
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Objetivo: encontrar todos os x reais que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Determinar o domínio (valores de x que tornam as raízes bem-definidas).
Para \sqrt{2x+1} é preciso ter 2x+1\ge 0, isto é
2x+1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -\tfrac{1}{2}.
Para \sqrt{x+1} é preciso ter x+1\ge 0, isto é
x+1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1.
A interseção dessas condições é x\ge -\tfrac{1}{2}. Portanto só precisamos procurar soluções com
x\ge -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Facilitar a equação por substituição. Defino
t=\sqrt{x+1}.
Aqui t é não negativo ( t\ge 0) porque raiz quadrada retorna valor \ge 0. Em termos de t temos
x+1=t^2 \quad\Rightarrow\quad x=t^2-1.
Agora expressar \sqrt{2x+1} em função de t:
2x+1 = 2(t^2-1)+1 = 2t^2-2+1 = 2t^2-1,
logo
\sqrt{2x+1}=\sqrt{2t^2-1}.
A equação original passa a ser
\sqrt{2t^2-1}=1+t,
com a condição t\ge 0.

Passo 4

Eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado. Antes de fazer isso, verifico sinais: o lado direito 1+t é \ge 1>0, e o lado esquerdo \sqrt{2t^2-1} é \ge 0. Como ambos os lados são não negativos, elevar ao quadrado não introduz ambiguidade de sinal (mas pode introduzir raízes extranhas em outras situações; por isso sempre checamos as soluções depois).
Elevando ao quadrado:
2t^2-1=(1+t)^2.
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
2t^2-1=1+2t+t^2.
Passo todos os termos para um lado:
2t^2-1-(1+2t+t^2)=0.
Simplificando:
t^2-2t-2=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática
t^2-2t-2=0.
Uso a fórmula de Bhaskara: para at^2+bt+c=0 as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=-2. O discriminante é
\Delta=b^2-4ac = (-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12.
Logo
t=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}.
Obtemos duas soluções formais para t: t_1=1+\sqrt{3} e t_2=1-\sqrt{3}.

Passo 6

Aplicar a condição t\ge 0. Temos 1+\sqrt{3}>0, enquanto 1-\sqrt{3}<0 porque \sqrt{3}\approx1,732>1. Como t=\sqrt{x+1} deve ser \ge 0, rejeitamos t_2 e mantemos
t=1+\sqrt{3}.

Passo 7

Voltar para x. Lembrando que t=\sqrt{x+1}, temos
x+1=t^2=(1+\sqrt{3})^2.
Calcular o quadrado:
(1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}.
Portanto
x+1 = 4 + 2\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad x = 3 + 2\sqrt{3}.

Passo 8

Verificação direta (importante porque elevamos ao quadrado anteriormente). Substituir x=3+2\sqrt{3} na equação original:
Calcular \sqrt{x+1}:
\sqrt{x+1}=\sqrt{(3+2\sqrt{3})+1}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}
(porque 1+\sqrt{3}>0 e (1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}).
Calcular \sqrt{2x+1}:
2x+1=2(3+2\sqrt{3})+1=6+4\sqrt{3}+1=7+4\sqrt{3},
e
\sqrt{2x+1}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}
(pois (2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3} e 2+\sqrt{3}>0).
Agora a direita da equação original é
1+\sqrt{x+1}=1+(1+\sqrt{3})=2+\sqrt{3},
que coincide com \sqrt{2x+1}. Logo x=3+2\sqrt{3} satisfaz a equação.

Passo 9

Concluir que não há outras soluções válidas: a segunda raiz para t foi negativa e foi rejeitada; portanto a única solução real da equação no domínio x\ge -\tfrac{1}{2} é x=3+2\sqrt{3}.

Resposta

x=3+2\sqrt{3}

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