Determine todos os números reais a, tais que a inequação tenha exatamente uma solução em x.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para encontrar todos os números reais $ a $ tais que a inequação $ \left|x^{2} + 2a x + 3a\right| \leq 2 $ tenha exatamente uma solução em $ x $. Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo funções quadráticas e precisamos analisar quando a expressão dentro do valor absoluto resulta em uma única solução.
Passo 2
Primeiro, removemos o valor absoluto transformando a inequação em duas partes:
-2 <= x^2 + 2a x + 3a <= 2
Isso significa que a expressão quadrática $ x^{2} + 2a x + 3a $ deve estar entre -2 e 2.
Passo 3
Para que a inequação tenha exatamente uma solução, as duas expressões quadráticas resultantes devem ter exatamente um ponto em comum com a linha horizontal correspondente. Vamos analisar cada parte separadamente.
Primeiro, consideramos:
x^2 + 2a x + 3a = 2
Rearranjando:
x^2 + 2a x + (3a - 2) = 0
Para que essa equação quadrática tenha exatamente uma solução, seu discriminante $ \Delta $ deve ser igual a zero:
De
De
Dividindo por 4:
4a^2 - 12a + 8 = 0
Fatorando:
a^2 - 3a + 2 = 0
Então, $ a = 1 $ ou $ a = 2 $.
Passo 4
Agora consideramos a segunda parte:
x^2 + 2a x + 3a = -2
Rearranjando:
x^2 + 2a x + (3a + 2) = 0
Novamente, para ter exatamente uma solução, o discriminante deve ser zero:
De
4a^2 - 12a - 8 = 0
Dividindo por 4:
a^2 - 3a - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
a = 3 pm raiz9 + 82 = 3 pm raiz172
Passo 5
Agora, precisamos verificar quais desses valores de $ a $ resultam em exatamente uma solução para a inequação original. Observamos que para $ a = 1 $ e $ a = 2 $, apenas uma das equações quadráticas terá uma única solução real, enquanto a outra terá duas ou nenhuma.
Resposta
Os valores de $ a $ que tornam a inequação $ \left|x^{2} + 2a x + 3a\right| \leq 2 $ com exatamente uma solução em $ x $ são: