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22-28 Potências Gerais. Mostrando os detalhes do que fizer, encontre o valor principal de:
(1+i)^1-i

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a potência complexa principal (1+i)^{1-i}, usando a definição de potência geral e logaritmo complexo. O conteúdo é potências gerais de números complexos e vamos precisar da forma polar, do logaritmo principal e da fórmula a^b = e^{b·Log(a)}.

Passo 2

Primeiro, convertemos z = 1 + i pra forma polar. O módulo é r = |1+i| = \sqrt{12+12} = \sqrt{2}, e o argumento principal é θ = \arg(1+i) = \pi/4. Logo podemos escrever
1+i = raiz2,e^ipi/4

Passo 3

Usando a definição de potência geral, temos
onde \Log é o logaritmo principal. Como
temos

Passo 4

Agora expandimos o produto no expoente:
(1 - i)l(ln(raiz2) + itfracpi4r) = (1-i)ln(raiz2) + (1-i)itfracpi4
Calculando cada parte:
(1-i)\ln(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2}) - i\ln(\sqrt{2}),
(1 - i)i = i - i^2 = i +1, portanto
(1-i)itfracpi4 = tfracpi4 + itfracpi4
Somando, o expoente vira
l(ln(raiz2) + tfracpi4r) + il(tfracpi4 - ln(raiz2)r)

Passo 5

Por fim, aplicamos e^{A + iB} = e^A(\cos B + i\sin B). Como \ln(\sqrt{2}) = \tfrac12\ln2, definimos
A = ln(raiz2) + tfracpi4, B = tfracpi4 - ln(raiz2)
Então
(1+i)^1-i = e^Al(cos B + isin Br) = e^12ln2 + pi4l(cos(tfracpi4 - tfrac12ln2) + isin(tfracpi4 - tfrac12ln2)r)

Resposta

(1+i)^1-i = e^12ln2 + pi4l(cosl(tfracpi4 - tfrac12ln2r) + i,sinl(tfracpi4 - tfrac12ln2r)r)

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