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22-28 Potências Gerais. Mostrando os detalhes do que fizer, encontre o valor principal de:
22-28 Potências Gerais. Mostrando os detalhes do que fizer, encontre o valor principal de:
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a potência complexa principal (1+i)^{1-i}, usando a definição de potência geral e logaritmo complexo. O conteúdo é potências gerais de números complexos e vamos precisar da forma polar, do logaritmo principal e da fórmula a^b = e^{b·Log(a)}.
Passo 2
Primeiro, convertemos z = 1 + i pra forma polar. O módulo é r = |1+i| = \sqrt{12+12} = \sqrt{2}, e o argumento principal é θ = \arg(1+i) = \pi/4. Logo podemos escrever
Passo 3
Usando a definição de potência geral, temos
onde \Log é o logaritmo principal. Como
temos
Passo 4
Agora expandimos o produto no expoente:
Calculando cada parte:
(1-i)\ln(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2}) - i\ln(\sqrt{2}),
(1-i)\ln(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2}) - i\ln(\sqrt{2}),
(1 - i)i = i - i^2 = i +1, portanto
Somando, o expoente vira
Passo 5
Por fim, aplicamos e^{A + iB} = e^A(\cos B + i\sin B). Como \ln(\sqrt{2}) = \tfrac12\ln2, definimos
Então