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22-28 Potências Gerais. Mostrando os detalhes do que fizer, encontre o valor principal de:
(-1)^1-2 i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor principal de (-1)^(1-2i), que é uma potência geral de número complexo. Vamos usar o conceito de Logaritmo principal e a definição de potência geral na forma z^w = e^{w·Log(z)}.

Passo 2

Para potências gerais de números complexos usamos a definição
onde é o logaritmo principal, com no intervalo z^w = e^w,Log(z) .

Passo 3

Primeiro, calculamos o logaritmo principal de -1. Como |-1|=1 e , temos
.

Passo 4

Substituindo em z^w, fica:
.

Passo 5

Vamos expandir o expoente:
(1-2i),ipi = ipi -2i^2pi = ipi +2pi
portanto
(-1)^1-2i = e^2pi + ipi = e^2pi,e^ipi

Passo 6

Sabendo que e^ipi=-1, concluímos que
(-1)^1-2i = -e^2pi

Resposta

(-e^{2\pi})

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