Efetue as operações indicadas abaixo:
(-1+\sqrt{3} i)^{12}(1+i)^{13}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular o valor da expressão (-1+\sqrt{3}\,i)^{12}(1+i)^{13}.
Informações dadas:
  • O primeiro número complexo é (-1+\sqrt{3}\,i).
  • O segundo número complexo é (1+i).
    A tarefa é efetuar as potências e o produto e apresentar o resultado final.

Passo 2

Transformar o primeiro número para a forma polar (módulo e argumento). Vou ensinar as fórmulas úteis:
  • Para um complexo z=x+yi, o módulo é \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
  • O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{y}{x}, mas é preciso ajustar \theta ao quadrante correto.
  • Na forma polar: z=r(\cos\theta+i\sin\theta) e, pela fórmula de Euler, z=r e^{i\theta}.
Aplicando a (-1+\sqrt{3}\,i): aqui x=-1 e y=\sqrt{3}.
Calcule o módulo:
r_{1}=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Calcule o argumento: \tan\theta_{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}. Como x<0 e y>0, o ponto está no segundo quadrante; o ângulo referência com tangente \sqrt{3} é \tfrac{\pi}{3}, então
\theta_{1}=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}.
Portanto escrevemos
-1+\sqrt{3}\,i = 2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=2e^{i\frac{2\pi}{3}}.

Passo 3

Elevar o primeiro número à potência 12 usando a fórmula de De Moivre: para z=r e^{i\theta} vale z^{n}=r^{n}e^{in\theta}.
Assim,
(-1+\sqrt{3}\,i)^{12} = \bigl(2e^{i\frac{2\pi}{3}}\bigr)^{12} = 2^{12} e^{i\cdot 12\cdot\frac{2\pi}{3}}.
Calcule os expoentes:
2^{12}=4096, \qquad 12\cdot\frac{2\pi}{3}=8\pi.
Como e^{i8\pi}=\cos(8\pi)+i\sin(8\pi)=1, obtemos
(-1+\sqrt{3}\,i)^{12}=4096.
Observação: o resultado é um número real porque o argumento multiplicado deu um múltiplo inteiro de 2\pi.

Passo 4

Agora faça o mesmo para (1+i). Primeiro encontrar módulo e argumento:
Aqui x=1, y=1.
r_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
O argumento satisfaz \tan\theta_{2}=1 e, como x>0,y>0, \theta_{2}=\tfrac{\pi}{4}. Então
1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}.

Passo 5

Elevar (1+i) à potência 13 com De Moivre:
(1+i)^{13}=\bigl(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\bigr)^{13}=(\sqrt{2})^{13}e^{i\frac{13\pi}{4}}=2^{\frac{13}{2}}e^{i\frac{13\pi}{4}}.
Reduza o ângulo: \dfrac{13\pi}{4}=2\pi+\dfrac{5\pi}{4}, portanto e^{i\frac{13\pi}{4}}=e^{i\frac{5\pi}{4}}. Sabendo que
\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
e^{i\frac{5\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(1+i\bigr).
Multiplicando:
(1+i)^{13}=2^{\frac{13}{2}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(1+i).
Simplifique a constante numérica:
2^{\frac{13}{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{\frac{13}{2}}\cdot\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2}= \frac{2^{\frac{14}{2}}}{2}=\frac{2^{7}}{2}=2^{6}=64.
Com o sinal negativo,
(1+i)^{13}=-64(1+i).

Passo 6

Multiplique os dois resultados:
(-1+\sqrt{3}\,i)^{12}(1+i)^{13}=4096\cdot\bigl(-64(1+i)\bigr)=-4096\cdot64\,(1+i).
Calcule 4096\cdot64. Como 4096=2^{12} e 64=2^{6}, o produto é 2^{18}=262144. Logo
(-1+\sqrt{3}\,i)^{12}(1+i)^{13}=-262144(1+i).
Se preferir em forma a+bi, basta multiplicar:
-262144(1+i)=-262144-262144\,i.

Resposta

-262144-262144\,i

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