Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis.
yx d x-sen(x^2) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem que podemos escrever na forma
-sin(x^2),dx + yx,dy = 0
O conteúdo é separação de variáveis: vamos reescrever de modo a obter dy/dx e depois agrupar todos os y de um lado e todos os x do outro.

Passo 2

Dividindo a forma diferencial por dx, obtemos
dydx = sin(x^2)y/x = x,sin(x^2)y

Passo 3

Agora separam-se as variáveis multiplicando ambos os lados por y e por dx:
y,dy = x,sin(x^2),dx

Passo 4

Integramos cada lado:
integral y,dy = integral x,sin(x^2),dx
No lado esquerdo integral y,dy = y^2/2. No direito, faça a substituição u = x^2, du = 2x,dx, logo
integral x,sin(x^2),dx = 12integral sin(u),du = -12cos(u) + C = -tfrac12cos(x^2)+C

Passo 5

Igualando as integrais:
y^22 = -12cos(x^2) + C
Multiplicando por 2 e renomeando a constante 2C como C, obtemos
y^2 = -cos(x^2) + C Longrightarrow y^2 + cos(x^2) = C

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
y^2 + cos(x^2) = C,
sendo C constante de integração (ou explicitamente y= pmraizC-cos(x^2)).

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