Considere o plano definido pela equação x+y+z=9. Utilize o método de máximos e mínimos para funções de duas variáveis para encontrar o ponto do plano que está mais próximo do ponto P(1,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações claras:
  • O plano é dado por x+y+z=9.
  • O ponto dado é P(1,1,1).
    A pergunta é: encontrar o ponto do plano que está mais próximo do ponto P(1,1,1).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): colocar um ponto qualquer do plano em função de duas variáveis e minimizar a distância entre esse ponto genérico e P. Por que usar a distância ao quadrado em vez da distância direta? Porque a função distância tem raiz quadrada, e minimizar a raiz quadrada é equivalente a minimizar o quadrado da distância (a raiz é monotônica crescente), então fica mais simples trabalhar com soma de quadrados.
Como o plano tem equação x+y+z=9, podemos isolar z e escrever um ponto qualquer do plano como (x,y,z)=(x,y,9-x-y). Definimos então a função de duas variáveis que dá o quadrado da distância do ponto (x,y,9-x-y) até P(1,1,1):
f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2+(9-x-y-1)^2.

Passo 3

Simplificar f(x,y). Primeiro observe que 9-x-y-1=8-x-y. Então
f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2+(8-x-y)^2.
Não é necessário expandir tudo para derivar, mas para deixar explícito:
(x-1)^2 = x^2-2x+1, \qquad (y-1)^2 = y^2-2y+1,
(8-x-y)^2 = (8-(x+y))^2 = 64-16(x+y)+(x+y)^2.
Somando, obtemos uma função quadrática em x e y. Porém, para encontrar o mínimo é mais direto calcular parciais a partir da forma compacta.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais e achar pontos críticos. Lembre-se: a derivada parcial \partial f/\partial x mede a taxa de variação de f quando apenas x varia (mantendo y fixo). Para nossa f,
\frac{\partial f}{\partial x}=2(x-1)+2(8-x-y)\cdot(-1).
Explicando: a derivada de (x-1)^2 é 2(x-1); a de (y-1)^2 é zero (não depende de x); a de (8-x-y)^2 é 2(8-x-y) multiplicada por derivada interna -1. Simplificando,
\frac{\partial f}{\partial x}=2(x-1)-2(8-x-y)=2\bigl(2x+y-9\bigr).
De forma análoga,
\frac{\partial f}{\partial y}=2(y-1)-2(8-x-y)=2\bigl(x+2y-9\bigr).
Pontos críticos satisfazem \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Assim resolvemos o sistema
2x+y-9=0, \qquad x+2y-9=0.
Resolver o sistema: multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo a primeira:
4x+2y-18 - (2x+y-9)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+y-9=0 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3.
Substituindo em 2x+y=9 2\cdot 3+y=9, logo y=3.

Passo 5

Verificar que o ponto crítico é mínimo. Para funções de duas variáveis, calcula-se as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=4, \qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=4, \qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2.
O discriminante é
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^2=4\cdot4-2^2=16-4=12>0.
Como D>0 e f_{xx}=4>0, o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, f é uma função quadrática com matriz Hessiana constante positiva definida (já que D>0 e f_{xx}>0), logo esse mínimo local é na verdade mínimo global sobre todo o plano parametrizado (não há outros mínimos).
Agora encontramos a coordenada z correspondente usando a equação do plano: z=9-x-y=9-3-3=3. Portanto o ponto do plano mais próximo de P(1,1,1) é (3,3,3).

Passo 6

Resumo rápido da ideia para prova: escreva o ponto do plano com duas variáveis, minimize a função quadrática da distância ao quadrado, encontre o ponto crítico pela anulação das parciais e confirme o mínimo pelo teste da Hessiana (ou observe convexidade da quadrática). Isso evita raízes e torna a conta direta na prova.

Resposta

(3,3,3)

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