Considere o plano definido pela equação
. Utilize o método de máximos e mínimos para funções de duas variáveis para encontrar o ponto do plano que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações claras:
- O plano é dado por
. - O ponto dado é
.
A pergunta é: encontrar o ponto do plano que está mais próximo do ponto.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): colocar um ponto qualquer do plano em função de duas variáveis e minimizar a distância entre esse ponto genérico e
. Por que usar a distância ao quadrado em vez da distância direta? Porque a função distância tem raiz quadrada, e minimizar a raiz quadrada é equivalente a minimizar o quadrado da distância (a raiz é monotônica crescente), então fica mais simples trabalhar com soma de quadrados.
Como o plano tem equação
, podemos isolar
e escrever um ponto qualquer do plano como
. Definimos então a função de duas variáveis que dá o quadrado da distância do ponto
até
:
Passo 3
Simplificar
. Primeiro observe que
. Então
Não é necessário expandir tudo para derivar, mas para deixar explícito:
Somando, obtemos uma função quadrática em
e
. Porém, para encontrar o mínimo é mais direto calcular parciais a partir da forma compacta.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais e achar pontos críticos. Lembre-se: a derivada parcial
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia (mantendo
fixo). Para nossa
,
Explicando: a derivada de
é
; a de
é zero (não depende de
); a de
é
multiplicada por derivada interna
. Simplificando,
De forma análoga,
Pontos críticos satisfazem
e
. Assim resolvemos o sistema
Resolver o sistema: multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo a primeira:
Substituindo em
dá
, logo
.
Passo 5
Verificar que o ponto crítico é mínimo. Para funções de duas variáveis, calcula-se as segundas derivadas e o discriminante da Hessiana:
O discriminante é
Como
e
, o ponto crítico é um mínimo local. Além disso,
é uma função quadrática com matriz Hessiana constante positiva definida (já que
e
), logo esse mínimo local é na verdade mínimo global sobre todo o plano parametrizado (não há outros mínimos).
Agora encontramos a coordenada
correspondente usando a equação do plano:
. Portanto o ponto do plano mais próximo de
é
.
Passo 6
Resumo rápido da ideia para prova: escreva o ponto do plano com duas variáveis, minimize a função quadrática da distância ao quadrado, encontre o ponto crítico pela anulação das parciais e confirme o mínimo pelo teste da Hessiana (ou observe convexidade da quadrática). Isso evita raízes e torna a conta direta na prova.