1. Determine todos os pontos da curva x^2-y^2=2 x+4 y nos quais a reta tangente é horizontal. Existe algum ponto da curva para o qual a tangente é vertical?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^2-y^2=2x+4y
e pede os pontos em que a reta tangente é horizontal (ou seja, y'=0) e se existe algum ponto com tangente vertical (onde y'toinfty). Para isso vamos usar diferenciação implícita para achar y'.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddx(x^2)-ddx(y^2)=ddx(2x)+ddx(4y)
ou seja
2x-2y,y'=2+4y'
Agora agrupamos os termos com y':
-2y,y'-4y'=2-2x
y'(-2y-4)=2-2x
e portanto
y'=2-2x-2(y+2)=x-1y+2

Passo 3

A tangente é horizontal quando y'=0, isto é, quando o numerador se anula:
x-1=0Longrightarrow x=1,
desde que o denominador não seja zero ( yneq-2). Substituindo x=1 na equação da curva:
1 - y^2=2cdot1+4y
1 - y^2=2+4y
-y^2-4y-1=0
y^2+4y+1=0
y=-2pmraiz3

Passo 4

Para haver tangente vertical precisaríamos de y'toinfty, isto é, y+2=0 e x-1neq0. Então y=-2. Mas na curva, se y=-2 temos
x^2-(-2)^2=2x+4(-2)
x^2-4=2x-8
x^2-2x+4=0
o que não tem solução real (discriminante negativo). Logo não há ponto com tangente vertical.

Resposta

Os pontos com reta tangente horizontal são
l(1,-2+raiz3r) e l(1,-2-raiz3r)
Não existe nenhum ponto da curva onde a tangente seja vertical.

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