- Determine todos os pontos da curva
nos quais a reta tangente é horizontal. Existe algum ponto da curva para o qual a tangente é vertical?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede os pontos em que a reta tangente é horizontal (ou seja,
) e se existe algum ponto com tangente vertical (onde
). Para isso vamos usar diferenciação implícita para achar
.
Passo 2
Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos
ou seja
Agora agrupamos os termos com
:
e portanto
Passo 3
A tangente é horizontal quando
, isto é, quando o numerador se anula:
desde que o denominador não seja zero (
). Substituindo
na equação da curva:
Passo 4
Para haver tangente vertical precisaríamos de
, isto é,
e
. Então
. Mas na curva, se
temos
o que não tem solução real (discriminante negativo). Logo não há ponto com tangente vertical.
Resposta
Os pontos com reta tangente horizontal são
Não existe nenhum ponto da curva onde a tangente seja vertical.