Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{cc}\cos (\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\operatorname{sen}(\theta) & \cos (\theta)\\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação em R^2
A= cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta)
e pede os autovalores, autovetores e a dimensão de cada autoespaço. Para isso, vamos usar a definição de autovalor/autovetor e resolver o polinômio característico det(A-lambda I)=0.

Passo 2

Calculamos o determinante de A-lambda I:
detl(A-lambda Ir) =det cos(theta)-lambda & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta)-lambda =(costheta-lambda)^2+sin^2theta
Expandindo,
(costheta-lambda)^2+sin^2theta =lambda^2-2costheta,lambda+cos^2theta+sin^2theta =lambda^2-2costheta,lambda+1

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
lambda^2-2costheta,lambda+1=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda =2costhetapmraiz4cos^2theta-42 =costhetapmraizcos^2theta-1 =costhetapm isintheta =e^pm itheta

Passo 4

Para cada autovalor encontramos o autovetor resolvendo .
Para , a primeira linha dá
Podemos escolher , obtendo
Analogamente, para achamos
Cada autoespaço associado a ou é unidimensional sobre .

Passo 5

Há um caso especial quando sintheta=0, isto é, theta=kpi. Então o discriminante é zero e
lambda=costheta=pm1
com multiplicidade algébrica 2. Note que
theta=2kpiimplies A=I e theta=(2k+1)piimplies A=-I. Em ambos os casos toda R^2 é o autoespaço, de dimensão 2.

Resposta

Para thetanotequiv kpi:
lambda1=e^itheta, autovetor v1=(1,-i)^T, dim=1;
lambda2=e^-itheta, autovetor v2=(1,i)^T, dim=1.
Para theta=kpi:
lambda=costheta=pm1 (multiplicidade 2), autovetores todos os vetores de R^2, dim=2.

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