Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{cc}\cos (\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\operatorname{sen}(\theta) & \cos (\theta)\\end{array}\\right)\’
\\left(\\begin{array}{cc}\cos (\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\operatorname{sen}(\theta) & \cos (\theta)\\end{array}\\right)\’
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de rotação em
e pede os autovalores, autovetores e a dimensão de cada autoespaço. Para isso, vamos usar a definição de autovalor/autovetor e resolver o polinômio característico
.
Passo 2
Calculamos o determinante de
:
Expandindo,
Passo 3
Resolvendo o polinômio característico
usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Para cada autovalor
encontramos o autovetor resolvendo
.
Para , a primeira linha dá
Para
Podemos escolher
, obtendo
Analogamente, para
achamos
Cada autoespaço associado a
ou
é unidimensional sobre
.
Passo 5
Há um caso especial quando
, isto é,
. Então o discriminante é zero e
com multiplicidade algébrica 2. Note que
e
. Em ambos os casos toda
é o autoespaço, de dimensão 2.
Resposta
Para
:
, autovetor
,
;
, autovetor
,
.
Para
:
(multiplicidade 2), autovetores todos os vetores de
,
.