Encontre a edo de segunda ordem com a seguinte família de curvas integrais:
C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2 x}.

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja
y(x)=C1e^x+C2e^2x.
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de coeficientes constantes: precisamos identificar a equação característica cujas raízes geram os expoentes 1 e 2.

Passo 2

Se a solução é combinação linear de e^r x com r=1 e r=2, a equação característica deve ter raízes
r1=1 e r2=2
Logo, a característica é
(r-1)(r-2)=0 Longrightarrow r^2-3r+2=0

Passo 3

A partir da equação característica r^2-3r+2=0 obtemos a EDO em y:
y''-3y'+2y=0

Passo 4

Para confirmar, calculamos
y' = C1e^x+2C2e^2x, y'' = C1e^x+4C2e^2x
e substituímos em y''-3y'+2y, chegando a zero identicamente.

Resposta

y'' - 3y' + 2y = 0

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