Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função f(x, y)=x^2+y^2-2 x-4 y é i+j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todos os pontos onde a direção de maior variação da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x - 4y $ é o vetor $ \vec{i} + \vec{j} $. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior variação de uma função. Vamos precisar calcular o gradiente da função e ver onde ele é paralelo ao vetor $ \vec{i} + \vec{j} $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então:
f(x, y)
Calculando as derivadas parciais:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
partial fpartial x = 2x - 2
Então, o gradiente fica:
partial fpartial y = 2y - 4

Passo 3

Agora, queremos que esse gradiente seja paralelo ao vetor $ \vec{i} + \vec{j} $, que em componentes é $ (1, 1) $. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número $ \lambda $ tal que:
i + j
Isso nos dá o sistema de equações:
(1, 1)
lambda

Passo 4

Como ambas as expressões são iguais a $ \lambda $, podemos igualá-las entre si:
lambda
Agora, vamos resolver essa equação para relacionar $ x $ e $ y $:
2x - 2 = 2y - 4
x
y
2x - 2 = 2y - 4

Passo 5

Agora, temos que $ x - y = -1 $. Isso nos dá uma relação entre $ x $ e $ y $. Vamos usar uma das equações originais para encontrar os valores específicos. Vamos pegar a primeira equação:
x - y = -1
E a segunda:
x
Como $ \lambda = 2x - 2 $ e $ \lambda = 2y - 4 $, igualando as duas:
y
Já resolvemos isso e chegamos a $ x - y = -1 $. Isso significa que a diferença entre $ x $ e $ y $ deve ser -1 para que o gradiente seja paralelo a $ \vec{i} + \vec{j} $.

Resposta

Todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ x - y = -1 $. Ou seja, qualquer ponto que esteja na reta definida por $ x = y - 1 $.

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