Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função
é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todos os pontos onde a direção de maior variação da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x - 4y $ é o vetor $ \vec{i} + \vec{j} $. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior variação de uma função. Vamos precisar calcular o gradiente da função e ver onde ele é paralelo ao vetor $ \vec{i} + \vec{j} $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, queremos que esse gradiente seja paralelo ao vetor $ \vec{i} + \vec{j} $, que em componentes é $ (1, 1) $. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número $ \lambda $ tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Como ambas as expressões são iguais a $ \lambda $, podemos igualá-las entre si:
Agora, vamos resolver essa equação para relacionar $ x $ e $ y $:
Passo 5
Agora, temos que $ x - y = -1 $. Isso nos dá uma relação entre $ x $ e $ y $. Vamos usar uma das equações originais para encontrar os valores específicos. Vamos pegar a primeira equação:
E a segunda:
Como $ \lambda = 2x - 2 $ e $ \lambda = 2y - 4 $, igualando as duas:
Já resolvemos isso e chegamos a $ x - y = -1 $. Isso significa que a diferença entre $ x $ e $ y $ deve ser -1 para que o gradiente seja paralelo a $ \vec{i} + \vec{j} $.
Resposta
Todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ x - y = -1 $. Ou seja, qualquer ponto que esteja na reta definida por $ x = y - 1 $.