Um balão de ar quente está subindo verticalmente a uma velocidade que varia em função do tempo v(t), dada pela equação:
v(t)=5 t^2-30 t+50,
onde v(t) está em metros por segundo (m / s) e t em segundos (s).
Encontre a aceleração do balão em qualquer instante t, calculando a(t)=d vd t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um balão de ar quente que está subindo e a velocidade dele varia com o tempo. A equação que descreve essa velocidade é:
v(t) = 5 t^2 - 30 t + 50,
onde v(t) está em metros por segundo (m / s) e t em segundos (s). Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração do balão em qualquer instante t. Para isso, vamos calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a(t) = d vd t. Isso envolve conceitos de derivadas da cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemática falando, isso é representado pela derivada da função velocidade v(t) em relação a t. Então, vamos derivar cada termo da função v(t):
v(t) = 5 t^2 - 30 t + 50

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de 5t^2:
    A regra aqui é que a derivada de t^n é n t^n-1. Então,
    ddt(5 t^2) = 5 times 2 t^2-1 = 10 t
  2. Derivada de -30 t:
    A derivada de t é 1. Portanto,
    ddt(-30 t) = -30 times 1 = -30
  3. Derivada de 50:
    A derivada de uma constante é 0.
    ddt(50) = 0

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:
a(t) = 10 t - 30 + 0 = 10 t - 30
Isso significa que a aceleração do balão em qualquer instante t é dada por 10 t - 30 metros por segundo ao quadrado (m / s^2).

Resposta

A aceleração do balão em qualquer instante t é:
a(t) = 10 t - 30 , m/s^2

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