Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO . É uma equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea. Para resolver, a gente vai encontrar primeiro a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para cada termo do lado direito.
Passo 2
A parte homogênea é . A equação característica é , com raízes . Logo a solução homogênea é .
Passo 3
Agora a gente trata o termo constante 6. Suponha uma solução particular constante . Como , o modelo fica , então .
Passo 4
Para o termo , usamos coeficientes indeterminados. Vamos supor
Calculando e igualando a , obtemos o sistema
Resolvendo, achamos A = tfrac118, B = -tfrac127 e C = tfrac1162. Logo
yp1 = e^3tl(tfract^218 - tfract27 + tfrac1162r)
Passo 5
A solução particular total é yp = yp1 + yp2. Assim a solução geral da EDO é