Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime+9 y=t^2 cdot e^3 t+6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y''+9y = t^2 e^3t +6. É uma equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea. Para resolver, a gente vai encontrar primeiro a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

A parte homogênea é y'' + 9y = 0. A equação característica é r^2 +9=0, com raízes r = pm 3i. Logo a solução homogênea é yh = C1cos(3t) + C2sin(3t).

Passo 3

Agora a gente trata o termo constante 6. Suponha uma solução particular constante yp2 = A. Como yp2''=0, o modelo fica 9A = 6, então A = tfrac23.

Passo 4

Para o termo t^2 e^3t, usamos coeficientes indeterminados. Vamos supor
yp1 = e^3t(At^2 + Bt + C)
Calculando yp1'' + 9yp1 e igualando a t^2 e^3t, obtemos o sistema
18A = 1, 12A + 18B = 0, 2A + 6B + 18C = 0
Resolvendo, achamos A = tfrac118, B = -tfrac127 e C = tfrac1162. Logo
yp1 = e^3tl(tfract^218 - tfract27 + tfrac1162r)

Passo 5

A solução particular total é yp = yp1 + yp2. Assim a solução geral da EDO é
y = C1cos(3t) + C2sin(3t) + tfrac23 + e^3tl(tfract^218 - tfract27 + tfrac1162r)

Resposta

y = C1cos(3t) + C2sin(3t) + 23 + e^3tl(t^218 - t27 + 1162r)

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