Determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)=\operatorname{sec} ^{-1}(x y)

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos (x,y) em \mathbb{R}^2 onde
f(x,y)=\operatorname{sec}^{-1}(x y)
é contínua. O conteúdo principal envolve a noção de domínio de definição da função arco-secante e o fato de que a composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Definimos duas funções intermediárias:
g(x,y)=x\cdot y, que é contínua em todo \mathbb{R}^2, e
h(u)=\operatorname{sec}^{-1}(u),
cujo domínio de definição é
\{\,u\in\mathbb{R} \mid |u|\ge 1\} = (-\infty,-1]\cup[1,+\infty).
Logo, f(x,y)=h(g(x,y)) só está definida quando
xy \in (-\infty,-1]\cup[1,+\infty),
ou seja, quando |xy|\ge 1.

Passo 3

Sabemos que g é contínua em todo \mathbb{R}^2 e que h é contínua em seu domínio \{\,u\mid |u|\ge1\}. Pelo teorema da composição, f=h\circ g é contínua em todo ponto (x,y) em que g(x,y) pertence ao domínio de h.

Passo 4

Concluímos que f é contínua exatamente nos pontos onde ela está definida, isto é, no conjunto
\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid |x\cdot y| \ge 1\},
equivalente a
\{(x,y) \mid x\cdot y \le -1\} \cup \{(x,y) \mid x\cdot y \ge 1\}.

Resposta

A função f(x,y)=\operatorname{sec}^{-1}(x y) é contínua em todos os pontos (x,y) tais que \displaystyle x\,y\le-1 ou \displaystyle x\,y\ge1.

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