Determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)=\operatorname{sec} ^{-1}(x y)

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos (x,y) em que a função
f(x,y)=\operatorname{sec}^{-1}(xy)
é contínua. Aqui usamos que f é composição da função de duas variáveis
(x,y)\mapsto xy
com a função inversa da secante \operatorname{sec}^{-1}(u). Para estudar continuidade de f, vamos (1) determinar o domínio de \operatorname{sec}^{-1}(u) e (2) aplicar o fato de que produto e inversas contínuas são contínuas em seus domínios.

Passo 2

A função \operatorname{sec}^{-1}(u) está definida e é contínua para
u\in(-\infty,-1]\;\cup\;[1,\infty),
isto é, sempre que \lvert u\rvert\ge1. No nosso caso u=xy. Logo o domínio de f é o conjunto
D=\{(x,y)\in\mathbb R^2 \mid |xy|\ge1\}.

Passo 3

Sabemos que o produto (x,y)\mapsto xy é contínuo em todo \mathbb R^2. Como \operatorname{sec}^{-1}(u) é contínua em (-\infty,-1]\cup[1,\infty), pela regra de composição f(x,y)=\operatorname{sec}^{-1}(xy) será contínua exatamente nos pontos onde xy pertence a esse intervalo, ou seja, no conjunto D acima.

Resposta

A função f(x,y)=\operatorname{sec}^{-1}(xy) é contínua em todos os pontos (x,y) que satisfazem
|xy|\ge1.

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