Mostre, a partir da definição de integral (limite da soma de Riemann), que:
integrala^b 2 x d x=b^2-a^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de integral como limite de soma de Riemann, que
integrala^b2x,dx = b^2-a^2
Vamos usar uma partição uniforme de [a,b], definir De<a x, escolher pontos de amostragem (extremos direitos) e calcular a soma de Riemann sum f(xi),De<a x, levando-a ao limite ntoinfty.

Passo 2

Dividimos [a,b] em n subintervalos iguais de comprimento
De<a x = b - an
Tomamos como pontos de amostragem os extremos direitos:
xi = a + i,De<a x, i = 1,2,dots,n
A soma de Riemann para f(x)=2x é
Rn = sumi=1^n f(xi),De<a x = sumi=1^n 2xi,De<a x

Passo 3

Calculamos a soma dos pontos xi:
sumi=1^n xi = sumi=1^n l(a + i,De<a xr) = n a + De<a x sumi=1^n i = n a + De<a x,n(n+1)2
Logo,
Rn = 2,De<a xl(n a + De<a x,n(n+1)2r) = 2 a,n,De<a x + De<a x^2,n(n+1)
Como
n,De<a x = b - a, De<a x^2,n(n+1) = l(b-anr)^2,n(n+1) = (b-a)^2,n+1n,
temos
Rn = 2a(b - a) + (b-a)^2,n+1n

Passo 4

Fazendo ntoinfty no Riemann sum:
limntoinfty Rn = 2a(b - a) + (b-a)^2 = b^2 - a^2
Portanto, pela definição de integral como limite de soma de Riemann,
integrala^b2x,dx = b^2 - a^2

Resposta

integrala^b2x,dx = b^2 - a^2

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