Determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)=\frac{x^{2}}{y-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^2}{y-1}
e pede todos os pontos (x,y) nos quais f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis e usamos o fato de que soma, produto e quociente de funções contínuas são contínuos, desde que o denominador não seja zero.

Passo 2

Para investigar a continuidade, primeiro identificamos o domínio de definição de f. O numerador x^2 está definido para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, mas o denominador y-1 não pode ser zero. Logo,
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y-1\neq 0\} =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq 1\}.

Passo 3

Sabemos que a função g(x,y)=x^2 é contínua em \mathbb{R}^2 e h(x,y)=y-1 também é contínua em \mathbb{R}^2. O quociente
\frac{g(x,y)}{h(x,y)}=\frac{x^2}{y-1}
é contínuo em todos os pontos onde h(x,y)\neq 0, isto é, onde y\neq 1.

Passo 4

Concluímos que f é contínua exatamente em seu domínio de definição, pois fora desse domínio a função nem está definida.

Resposta

A função f(x,y)=\dfrac{x^2}{y-1} é contínua em todos os pontos (x,y) tais que y\neq 1.

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