Ache o domínio de f e descreva a região em R^{3} que seja o conjunto de pontos no domínio.
f(x, y, z)=\ln \left(4-x^{2}-y^{2}\right)+|z|

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio de
f(x,y,z)=\ln\bigl(4 - x^2 - y^2\bigr) + |z|
em \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é análise de domínio envolvendo uma função logarítmica (que exige argumento positivo) e valor absoluto (definido para todo z).

Passo 2

Para a parte \ln\bigl(4 - x^2 - y^2\bigr) é necessário ter
4 - x^2 - y^2 > 0
ou seja
x^2 + y^2 < 4.

Passo 3

A parte |z| não impõe nenhuma restrição adicional, pois valor absoluto está definido para todo z\in\mathbb{R}.

Passo 4

Portanto o domínio é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem
x^2 + y^2 < 4,
sem restrição em z. Geometricamente, isso é o interior de um cilindro reto de raio 2 centrado no eixo z, estendendo-se indefinidamente para cima e para baixo.

Resposta

\displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 < 4\}, isto é, o interior de um cilindro infinito de raio 2 ao longo do eixo z.

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