Nos Exercícios de 27 a 30, determine se o limite existe.
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para investigar o limite
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Isso é um problema de limite de função de duas variáveis. Uma forma padrão de tratar é passar para coordenadas polares
(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), já que x^{2}+y^{2}=r^{2} tende a zero quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}y^{2}=(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)^{2}=r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta
e
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Logo a função vira
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}} =r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.

Passo 3

Note que \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta está sempre entre 0 e 1. Portanto
0 \le r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta \le r^{2}.
Como r\to0 implica r^{2}\to0, pelo teorema do aperto segue que
r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta \;\xrightarrow[r\to0]{}\;0 \quad\text{uniformemente em }\theta.
Isso prova que o limite existe e vale 0.

Resposta

O limite existe e é 0.

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