Seja
uma sequência definida por
com
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites de sequências! A gente tem uma sequência definida por $ x_{n} = \sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} $, onde $ 0 < a \leq b $. Nosso objetivo é mostrar que o limite dessa sequência, quando $ n $ vai para o infinito, é igual a $ b $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das raízes e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz de uma forma que facilite o cálculo do limite. Observamos que $ a^n + b^n $ pode ser fatorado por $ b^n $, já que $ b $ é maior ou igual a $ a $. Então, temos:
Isso simplifica a expressão original para:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade das raízes que diz que $ \sqrt[n]{k \cdot m} = \sqrt[n]{k} \cdot \sqrt[n]{m} $. Aplicando isso na nossa expressão, temos:
Sabemos que $ \sqrt[n]{b^n} = b $, então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de $ \sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^n + 1} $ quando $ n $ tende ao infinito. Note que $ \frac{a}{b} $ é um número entre 0 e 1, já que $ a \leq b $. Então, $ \left(\frac{a}{b}\right)^n $ tende a 0 quando $ n $ aumenta. Assim, a expressão dentro da raiz fica próxima de 1 para valores grandes de $ n $.
Passo 5
Com isso, podemos concluir que:
Porque a raiz de 1 é sempre 1, independente do valor de $ n $.
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado de volta na expressão de $ x_n $:
Resposta
Portanto, $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = b $.