Verifique se a função
é contínua em
, em que
é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
A função g é dada por partes em ℝ² e a questão é verificar sua continuidade em (1,3). O conteúdo aqui envolve definição de continuidade em funções de duas variáveis e uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para calcular limite em um ponto.
Passo 2
Para (x,y)≠(1,3) a fórmula de g é quociente de funções polinomiais contínuas e o denominador (x−1)²+(y−3)² é estritamente positivo. Logo, g é contínua em todo ponto diferente de (1,3).
Resta analisar o limite de g em (1,3). Note que para (x,y)≠(1,3) podemos escrever
Resta analisar o limite de g em (1,3). Note que para (x,y)≠(1,3) podemos escrever
Passo 3
Como 0≤(x−1)²/((x−1)²+(y−3)²)≤1, segue
Passo 4
Quando (x,y)→(1,3) temos (x−1)²→0, então pelo Teorema do Confronto g(x,y)→0.
Sabendo que g(1,3)=0 e que lim _{(x,y)→(1,3)}g(x,y)=0, concluímos que g é contínua em (1,3).
Sabendo que g(1,3)=0 e que lim _{(x,y)→(1,3)}g(x,y)=0, concluímos que g é contínua em (1,3).
Resposta
A função g é contínua em (1,3), pois o limite dela ao se aproximar de (1,3) é 0, igual ao valor definido g(1,3).